744 Kapitel 23, § 3. 



Weun wir mit z/„(J) und zfrn{J) Differentialparameter n^"'' und 



iter 



m-"" Ordnung bezeichnen, so ist offenbar ^„(^mJ) ein Differential- 

 parameter (n -\- my^'' Ordnung. Man erhält also eine grosse Anzahl 

 höherer Differentialparameter durch Differentiationsprocesse. Ja, man 

 könnte zeigen, dass von einer gewissen Ordnung an alle höheren in 

 dieser Weise gefunden werden können, doch wollen wir darauf hier 

 noch nicht eingehen. Ein analoges Theorem für die Differentialinvarian- 

 ten gilt bei beliebigen endlichen continuierlichen Gruppen, worauf wir 

 im nächsten Paragraphen zurückkommen. 



"'frameu^r ^^^ kami endlich Differentialparameter suchen, welche die Differen- 



mehrMcn tialquoticnten von mehreren Invarianten J, K . . . enthalten. Man hat 



iuvarianteu.2u dem Zwcck dassclbc Verfahren wie bisher einzuschlagen. Die 

 Gruppe wird durch Hinzunahme der Transformationen von J", K... 

 und ihrer Differentialquotienten erweitert, und die gesuchten Differen- 

 tialparameter sind die Invarianten der so entstehenden dreigliedrigen 

 Gruppe. Wieder ist die allgemeinste von n*^' Ordnung eine beliebige 

 Function einer gewissen endlichen Anzahl von einander unabhäno-io-er. 

 Zu diesen Differentialparametern gehört z. B. der in der Theorie der 

 schiobuu.' ''J^^^^e^ Formen als w*" Uberschiehung bezeichnete: 



deren Invarianz leicht nachzuweisen ist. 



Auf die Berechnung der Differential parameter gehen wir nicht 

 näher ein. Die Betrachtungen der drei letzten Paragraphen be- 

 zwecken ja nur, einen Überblick über die leitenden gruppentheore- 

 tischen Gesichtspunkte zu geben, nicht aber einen Abriss der Theorie 

 der binären Formen zu liefern. Die Probleme, die sich stellen, bieten, 

 wie wir gezeigt haben, vom gruppentheoretischen Standpunkt aus 

 keine Schwierigkeiten dar. Wohl aber können bedeutende algebraische 

 Hindernisse auftreten. Um diese bequem zu überwinden, hat man 

 von der dieser speciellen Theorie eigentümlichen symbolischen Be- 

 zeichnungsweise der Formen Gebrauch zu machen. 



Noch sei bemerkt: Wir betonten überall, dass die Anzahl der 

 von einander unabhängigen Invarianten endlich ist, dass also jede In- 

 variante durch eine endliche Anzahl von Invarianten ausdrückbar ist. 

 Wir sagen deshalb, im vorliegenden Problem besitze die betrachtete 

 invariante Schar von Mannigfaltigkeiten gegenüber der linearen homo- 

 Endiichos genen Gruppe ein endliches Formensystem. 

 System. Dics darf nicht mit der in der Theorie der binären Formen von 



