DifFerentialparameter in der Iiivariantentheoiie der binären Formen. 745 



Gordan und anderen gebrauchten Bezeichnung eines endlichen Formen- 

 systems verwechselt werden. Dort stellt man sich vielmehr das alge- 

 braische Problem, alle ganzen rationalen Invarianten ganz und rational 

 durch eine endliche Anzahl solcher auszudrücken. 



Nur ganz kui'z deuten wir an, wie sich gruppentheoretisch die In- 

 variantentheorie der ternärcn Formen darstellt. 



Verstehen wir unter x, y, s homogene Punktcoordinaten, unter j^orme^n 

 u, n, w homogene Liniencoordinaten in der Ebene mit gemeinsamem 

 Coordinatendreieck, so stellt eine ternäre Form 



9 ^^Äikix'fs' (i -\- k -\^ l = n) 



i k i 



gleich Null gesetzt eine Curvc n^^^ Ordnung dar, ferner die ternäre Form 



i\} =^ tKikiU^ v'' iv'' {i -\- Je -\- l = m) 

 gleich Null gesetzt eine Curvc w*®' Classe und schliesslich die Form 



ikt (jat Sil 



einen Conncx (w, ni) dar. % = giebt bei festgehaltenen x, y, z eine 

 Curve wt*'"' Classe, bei festgehaltenen «, f, to eine Curve w*^' Ordnung. 

 Diese Gebilde werden unter einander transformiert, sobald man auf 

 die Ebene eine projective Transformation ausübt. Bei dieser werden 

 X, y^ s linear und homogen transformiert und zwar, wie wir annehmen 

 können, durch eine Transformation der speciellen linearen und homogenen 

 Gruppe in x^ y, z. Ferner werden nach § 2 des 19. Kap. auch 

 i<, v^ IV durch die hierzu dualistische lineare homogene Transformation 

 unter einander vertauscht. Geht die Form i dabei etwa über in diese: 



1 ■ ■ n X . .11 1 



% ^^ ^ 51/«, oat x'y''' /' ?/? v" w'* , 



ikl (jor 



so werden die Parameter 51' gewisse Functionen der ursprünglichen 2t sein. 

 Man findet sie, indem man in ^ statt x, y, z, u, v, w ihre Werte in 

 den transformierten Veränderlichen einsetzt und darauf x ™^^ X ^^^" 

 gleicht. Die 21' sind offenbar ebenfalls lineare homogene Functionen der 51. 

 Sie bestimmen also auch eine lineare homogene Transformation. Alle so 

 sich ergebenden linearen homogenen Transformationen bilden wieder eine 

 Gruppe, die (specielle) Grwppe der Parameter. Zwei Formen % und ^ sind Gruppe 

 äquivalent, wenn die zugehörigen Wertsysteme (21) und (2C'j der Parameter Paramctor. 

 vermöge der Gruppe in einander überführbar sind, sonst nicht. Damit 

 kommen wir wieder zum Problem der kleinsten invarianten Mannigfaltig- 

 keiten bei der Gruppe der Parameter im Räume der Parameter zurück, 

 das erledigt ist. 



