746 Kapitel 23, §§ 3, 4. 



Die Formen (p und i/;, die, gleicli Null gesetzt, Curven w*«"^ Ordnung 

 bez. w*^' Classe darstellen, sind Speeialfülle der allgemeinen Form %. Für 

 ihre Parameter A bez. A gilt also auch das soeben Gesagte. Noch ist zu 

 bemerken, dass bei der Äquivalenzfrage wieder nur diejenigen kleinsten 

 invarianten Mannigfaltigkeiten in betracht kommen, die durch homogene 

 Gleichungen in den Parametern ausgedrückt werden. Von den Invarianten 

 der Gruppe der Parameter spielen also nur die von nullter Ordnung homo- 

 genen eine Rolle. 



Die infinitesimalen Transformationen der Gruppe der Parameter er- 

 geben sich durch die in § 1 des 10. Kap. auseinandergesetzte Methode wie 

 bei den binären Formen. 



cubTcho Betrachten wir als einziges Beispiel die cuUscIie tcrnäre Form: 



*'°"^'°- 1,2,3 



ikl 



die, gleich Null gesetzt, eine beliebige Curve dritter Ordnung in der Ebene 

 darstellt. Die cubische Form (p hat offenbar insgesamt zehn Parameter 

 ^300 1 -^030 • • ^111 • Bei der speciellen linearen homogenen Gruppe 

 in ä;, y, z, die 8-gliedrig ist, werden sie einer 8-gliedrigen Gruppe von 

 Transformationen unterworfen. Wäre diese Gruppe nämlich weniger als 

 achtgliedrig, so müsste eine allgemeine ebene Curve dritter Ordnung wenig- 

 stens eine infinitesimale projective Transformation zulassen, was bekanntlich 

 nicht der Fall ist. Die Gruppe der Parameter besitzt also 10 — 8 = 2 

 Invarianten, darunter eine homogene J, d. h. eine, die auch bei der in- 

 finitesimalen linearen Transformationen, die den A^ ihnen proportionale 

 Incremente erteilt, nämlich bei dieser: 



^ Aiicirr—. — 



^^^''''dA, 



kl 



invariant bleibt. Diese Invariante J ist also für die Äquivalenz ausschlag- 

 gebend: Zwei allgemeine ebene Curven dritter Ordnung sind durch pro- 

 jective Transformation in einander überführbar, wenn die Invariante J" bei 

 beiden denselben Zahlenwert hat, sonst nicht. Die Bedeutung von J ist 

 leicht zu ersehen: Bekanntlich ist der Wert des Doppelverhältnisses der 

 vier Tangenten, die man von einem Punkte aus an eine allgemeine Curve 

 dritter Ordnung ziehen kann, von der Lage des Punktes unabhängig, also 

 durch die Curve selbst gegeben. Andererseits ändert er sich natürlich 

 nicht bei projectiver Transformation. Es ist das Doppelverhältnis demnach 

 die Invariante J. 



Nicht allgemeiner Lage sind nur die Curven dritter Ordnung, die wir 

 ^Fäul^'^" "^^^^ unserer Terminologie als singulär bezeichnen müssen, nämlich die- 

 jenigen, für welche alle vierreihigen Determinanten der Matrix der um 



^^-^iki ^ — vergrösserten Gruppe verschwinden, die also eine infinitesi- 

 male projective Transformation in sich gestatten. 



Nach § 4 des 3. Kap. aber muss sich jede ebene Curve, die eine in- 

 finitesimale projective Transformation gestattet, nicht transcendent und 



