Das allgemeine Äquivalenzproblem. 747 



weder Gerade noch Kegelschnitt ist, notwendig bei geeigneter Coordinaten- 

 wahl auf die Form 



<j^iy,^^, = Const. 



bringen lassen, in der l^ -}- K -}- A3 = ist. Die Constante rechts lässt 

 sich sofort durch projective Transformation gleich Eins machen. Daher 

 folgt: Jede ebene Curve dritter Ordnung, welche eine infinitesimale pro- 

 jective Transformation gestattet, kann auf die Form: 



gebracht werden. Alle solche Curven sind also mit einander äquivalent. 

 Bekanntlich lässt sich andererseits jede Curve dritter Ordnung mit Spitze 

 bei geeigneter Coordinatenwahl auf diese Gleichung bringen. 



Sobald also qp = eine Curve dritter Ordnung mit Spitze darstellt, 

 ist q) nur mit solchen, aber auch mit allen solchen cubischen Formen cp 

 äquivalent, die gleich Null gesetzt ebenfalls eine Curve dritter Ordnung 

 mit Spitze darstellen. 



Aber 9) = kann nun auch zerfallen. Zerfällt die Curve in einen 

 Kegelschnitt und eine schneidende (nicht berührende) Gerade, so ist die 

 Form (p mit jeder derartigen, bei der dasselbe eintritt, äquivalent, weil es 

 stets eine projective Transformation giebt, die einen gegebenen Kegel- 

 schnitt mit Secante wieder in einen gegebenen Kegelschnitt mit Secante 

 überführt. 



Wenn g) = einen Kegelschnitt mit Tangente darstellt, so ist 9 

 wieder mit jeder Form cp äquivalent, bei der dasselbe gilt. 



Ebenso, wenn 9 = drei ein wirkliches Dreieck bildende Geraden 

 darstellt. 



Ferner gilt dasselbe, wenn (p = drei durch einen Punkt gehende 

 verschiedene Geraden liefert. 



Ferner auch, wenn cp = eine Doppelgerade und einfache Gerade 

 darstellt, also tp das Froduct aus einer rein quadratischen und einer 

 linearen Form ist. 



Schliesslich, wenn (p ein reiner Cubus einer linearen Form ist. 



Alle diese Fälle also müssen sich durch Nullsetzen aller Determinanten 

 gleicher Reihenzahl der Matrix ergeben. Unsere früheren Resultate aber 

 haben uns der factischen Ausrechnung dieser Determinanten überhoben. 



Weiter wollen wir hier auf die ternären Formen nicht eingehen. 



§ 4, Das allgemeine Äquivalenzproblem. 



Vorgelegt sei eine r-gliedrige Gruppe X^f . . . Xrf in einer 

 gewissen Anzahl von Veränderlichen. Deuten wir diese Veränder- 

 lichen als gewöhnliche Punktcoordinaten in einem Räume von ent- 

 sprechender Dimensionenzahl, so stellt die Gruppe eine Gruppe von 

 Transformationen dieses Raumes' dar. Liegen in diesem Räume zwei 

 Mannigfaltigkeiten vor, so erhebt sich die Frage, wie man entscheidet, 

 ob sie durch eine Transformation der Gruppe in einander überführbar 



