748 Kapitel 23, § 4. 



^GebüS*"sin^» ob sie also vermöge der Gruppe mit einander äquivalent sind. 

 Dieses Äquivalenzproblem soll hier in grossen Zügen erledigt werden. 

 Beispiele hierzu haben wir in dieser Abteilung schon mehrere gegeben. 



Besonderer Zunächst lässt sich ein besonderer Fall dieses Problems als wesent- 



lich einfacher als der allgemeine Fall abtrennen. Gesetzt nämlich, es 

 sei uns bekannt, dass die beiden zu betrachtenden Mannigfaltigkeiten 

 zu einer bei der Gruppe invarianten ebenfalls bekannten Schaar von 

 oo"* Mannigfaltigkeiten gehören, die von m wesentlichen Parametern 

 «x • • . «m abhängt, so bemerken wir, dass jede Transformation der 

 Gruppe diese c»™ Mannigfaltigkeiten unter einander vertauscht, also, 

 da letztere durch die Wertsysteme (a^ . . . a,„) bestimmt werden, eine' 

 Transformation in a^ . . . a„, bewirkt. Alle diese Transformationen 

 von «i . . . a,u stellen, wie man begrifflich sofort einsieht, wieder eine, 

 Gmppe und zwar eine höchstens r-gliedrige Gruppe dar, die Gruppe der Para- 



raramotor.^g^g^ «1 • • • ««• (Vgl. Satz 36, §5 des 19. Kap.) Das Äquivalenz- 

 problem kommt also auf das Problem zurück, zu entscheiden, ob zwei 

 Wertsysteme («,... a„,), (a/. . . «„;) durch die Gruppe der Parameter 

 in einander überführbar sind. Sie sind es, wenn im Räume der m 

 Parameter a^ . . . a,„ der Punkt (a/. . . «„;) der kleinsten bei der Gruppe 

 der Parameter invarianten Mannigfaltigkeit des Punktes (a^ . . . a^) an- 

 gehört. Das Problem reducirt sich hier auf das der Bestimmung der 

 kleinsten invarianten Mannigfaltigkeiten im Räume («^ . . . «,„,) bei der 

 Gruppe der Parameter. Dies Problem wurde aber im 16. Kap. allge- 

 mein erledigt. In den ersten Paragraphen des gegenwärtigen Kapitels 

 haben wir Beispiele hierzu betrachtet*). 



Sehen wir von diesem Specialfall ab, so führen uns die folgenden 

 ' pSm.^* Überlegungen stets zum gewünschten Ergebnis, eine endliche Anzalü 

 von Kriterien für die Äquivalenz zweier Mannigfaltiglceiten aufzustellen. 

 Diese Überlegungen werden durch die im vorigen Kapitel gegebenen 

 Beispiele erläutert. Wie dort führt auch im allgemeinen Falle die 

 Theorie der DifFerentialinvarianten und invarianten Differentialglei- 

 chungen stets zum Ziel. — 



Das Problem der Äquivalenz zerfällt zunächst in eine Reihe ein- 

 zelner. Es ist nämlich klar, dass nur zwei Mannigfaltiglceiten von 



*) Handelt es sich um die Äquivalenz algebraischer Gebilde gegenüber einer 

 projectiven Gruppe oder, sagen wir, gegenüber einer linearen homogenen Gruppe, 

 sobald nämlich homogene Coordinaten eing^eführt werden, so bleibt die Ordnung 

 der Gebilde bei der Gruppe invariant. Die Gebilde von bestimmter Ordnung 

 gehören also zu einer invarianten Schar, für welche die Betrachtungen des Textes 

 Geltung haben. 



