Das allgemeine Aquivalenzproblem. 749 



gleicher Diniensioneiimhl mit einander äquivalent sein können. Wir 

 haben demnach soviele einzelne Äquivalenzprobleme, als es Dimen- 

 sionenzahlen von Mannigfaltigkeiten im Raum der Veränderlichen der 

 gegebenen Gruppe giebt. Um nun die Betrachtungen nicht unnötig 

 zu verwickeln, beschränken wir uns auf das Äquivalenzproblem für 

 die Mannigfaltiglieiten grösster JDimensionenzahl , d. h. für die, welche 

 durch nur eine Gleichung zwischen den Veränderlichen gegeben werden. 

 In den anderen Fällen kommen wir auf ganz analogem Wege durch, 

 wenn auch der analytische Apparat etwas complicierter wird. Übri- 

 gens haben wir in §§ 2, 3 des vorigen Kapitels auch diese anderen 

 Fälle völlig erledigt beim Beispiel der Gruppe der Bewegungen im 

 Räume. 



Um uns möglichst bequem ausdrücken zu können, wollen wii' Gruppe im 

 annehmen, die gegebene r-gliedrige Gruppe XJ'. . Xrf enthalte n-\-l '^"+^' 

 Veränderliche, die wir mit 2, x^. . x„ bezeichnen. Wir deuten die 

 Veränderlichen als gewöhnliche Punktcoordiuaten in einem Räume 

 Ptn+i von n -\- 1 Dimensionen. Eine w-fach ausgedehnte Mannisfal- "*'''''='' '■'"'- 



o "'ocloliiite 



tigkeit wird dann durch eine Gleichung: Mamng- 



° faltigkeit. 



0) {2, Xi . .Xn) =0 



dargestellt. Sie wird im allgemeinen z enthalten. Dies wollen wir 

 immer annehmen, da im anderen Falle eine andere Coordinatenauswahl 

 stets zum Ziele führt. Wir betrachten also im Rn+i zwei Mannig- 

 faltigkeiten; 



2=(p{Xi..X„), = tl,(x,..X,,) 



und fragen uns, ob sie durch die Gruppe in einander überführbar sind. 



Die Mannigfaltigkeiten werden dadurch gegeben, dass als Function 

 von Xi . . Xn definiert wird, während x^ . . x^ als von einander unab- 

 hängige Veränderliche zu betrachten sind. Es haben also für unsere 

 Mannigfaltigkeiten die partiellen Differentialquotienten von 8 nach 

 x^ . . x„ einen bestimmten Sinn. 



Fassen wir eine w-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit ins Auge. Schar der 

 Sie geht bei allen oo'' Transformationen der Gruppe in höchstens (X)'' ^Manuig-'' 

 von einander verschiedene Mannigfaltigkeiten M über. Nach Satz ^^^'■'"^skeitoii. 

 § 2 des vorigen Kap., geht sie übrigens, wenn sie gerade p von ein- 

 ander unabhängige infinitesimale Transformationen der Gruppe gestattet, 

 in genau oo'"-^ Mannigfaltigkeiten M über. Die Schar dieser höch- 

 stens oo'" Mannigfaltigkeiten M iist gegenüber der Gruppe invariant 

 und enthält alle mit der ursprünglichen äquivalenten Mannigfaltio-- 

 keiten. 



