750 Kapitel 23, § 4. 



Shungen ^^^^^ ^^^^^ ^^^^ ^"^^li Differentialgleichungen definiert sein, da 



der Schar, gjg continuierlich ist. Erfüllt sie eine partielle Differentialgleichung 

 zwischen als abhängiger und Xi...Xn als unabhängigen Veränderlichen, 

 so erfüllt sie offenbar auch jede, die aus dieser Differentialgleichung 

 durch Differentiation nach den unabhängigen Veränderlichen x^ . . Xn 

 hervorgeht. Die Schar erfüllt also sicher unendhch viele partielle 

 Differentialgleichungen. Wir können uns die Gesamtheit dieser Diffe- 

 rentialgleichungen so hingeschrieben denken, dass sie mit der niedrig- 

 sten Ordnung anfangend zu immer höheren Ordnungen aufsteigen, 

 dass sich ferner aus denen p*<=' Ordnung die p^^"" Differentialquotienten 

 nicht eliminiren lassen und dass endlich jede durch Differentiation 

 aus einer der Differentialgleichungen hervorgehende Differentialgleichung 

 im System vorhanden, d. h. eine Folge der hingeschriebenen ist. Im 

 Folgenden stellen wir uns also das System von Differentialgleichungen, 

 das wir kurz mit 



ß, = (Ä;=l, 2...) 



bosSränkt bezeichnen, stets in dieser unbeschränU integrdbelen Form aufgestellt vor. 



^'system'" Alsdanu werdeu durch ^k = alle partiellen Differentialquotien- 

 ^^k=^ ten von z nach x^...Xn durch eine gewisse Anzahl derselben aus- 



goSeno gedrückt sein, zwischen denen nun keine Relation mehr besteht. Hier- 

 uiffquot. i^g- rechnen wir zu den Differentialquotienten auch z selbst als nullten. 

 Andererseits können wir uns eine der Mannigfaltigkeiten M der Schar 

 in einem Punkte {x^^ . . Xr^) allgemeiner Lage auf ihr durch die Reihen- 

 entwickelung von z nach ganzen positiven Potenzen von x^ — iCj", 

 ^2 — ^2"? • • • ^n — Xn^ gegeben denken. In dieser Entwickelung treten 

 in den Coefficienten die Werte der Differentialquotienten von z an der 

 Stelle {x^ . . Xn) auf. Geben wir denjenigen unter diesen Differential- 

 quotienten, die durch das System Slk = nicht gebunden werden, 

 irgend welche Werte, so liefert das System ß^ = auch die Werte 

 aller übrigen Differentialquotienten, sodass damit aus der Schar aller 

 unserer Mannigfaltigkeiten M eine ganz bestimmte herausgegriffen ist. 

 Mithin hängen die Mannigfaltigkeiten M von sovielen wesentlichen 

 willkürlichen Constanten ab, als es Differentialquotienten von z giebt, 

 die nic|it vermöge ü^ = durch Relationen verknüpft sind. Da die 

 Schar aus höchstens oo'" Mannigfaltigkeiten besteht, werden also durch 

 das System Slk = höchstens r Differentialquotienten nicht gebunden. 

 Biffquot. Hieraus folgt, dass vermöge ilk = die Differentialquotienten 



'^^''durch"^' ^^^ einer gewissen Ordnung an, sagen wir der 3-*®°, sämtlich durch 

 niedere die niederen ausgedrückt werden. Denn wäre dies nicht der Fall, so 



auagedr. ^ " ' 



würde ja von jeder beliebigen Ordnung mindestens ein Differential- 

 quotient willkürlich bleiben. Die Zahl g ist an eine obere Grenze 



