Das allgemeine Äquivalenzproblem. 75 [ 



gebunden. Denn es sind vermöge ^^ = nicht alle Differential quotienten 

 {q — 1)*^' Ordnung durch die niederen ausgedrückt, weil sonst q— 1 

 an die Stelle von q treten müsste. Es ist also mindestens ein Diffe- 

 rentialquotient (g — l)t" Ordnung willkürlich, daher auch mindestens 

 einer {q — 2)*^' Ordnung u. s. w., bis schliesslich auch der von nullter 

 Ordnung, z selbst, willkürlich bleibt. Somit sind sicher soviele Diffe- 

 rentialquotienten nicht gebunden, als es Ordnungen vor der g*^*» giebt, 

 also sicher q. Da höchstens r Differentialquotienten nicht durch Rela- 

 tionen verknüpft sind, so ist 



q'^r. 



Da die Schar von Mannigfaltigkeiten 31 bei der Gruppe invariant i^i^arianz 

 ist, ist es auch das System der Differentialgleichungen ß^ = 0. Um 

 dies analytisch auszudrücken, haben wir die Transformationen mitzu- i'ransf. <j. 

 berücksichtigen, welche die Differentialquotienten von z bei der vor- 

 gelegten Gruppe erfahren. Sie lassen sich im gegebenen Falle leicht 

 aufstellen. Wir deuten dies nur kurz an für die ersten partiellen 

 Differentialquotienten von z nach x^..Xn, die wir p^-.pn nennen. 

 Wenn bei einer Transformation der Gruppe s, x^ . . Xn in /, x^ . . xü 

 übergehen und wenn die ersten partiellen Differentialquotienten von z 

 nach Xy . . Xn mit p^ . . p^ bezeichnet werden, so ist: 



ds^]ßydx^-{-p^dx^-\ \- JJndXn. 



Ersetzen wir hierin x^ . . Xn durch ihre Werte in z, x^. . x„ und dz 

 durch 



dz = p.dxj^ + p.^dx.^ -I \- pjxn , 



so erhalten wir eine in dx,^ . . dXn lineare homogene Relation. Sie 

 muss für alle Differentiale dx^ . . dXn der unabhängigen Veränderlichen 

 x^ . . x„ bestehen, zerfällt also in n einzelne, die gerade Pi..p„' als 

 Functionen von z, x^. .Xn, Pi . . Pn bestimmen. Entsprechend ergeben 

 sich die zweiten partiellen Differentialquotienten von / nach x^'. . x„' u. s.w. 

 Allgemein übersieht man: Die Jc*^"^ partiellen Differentialquotienten von 

 / nach x^'. . x„' stellen sich dar als Functionen von z, x^ . . x„ und 

 den Differentialquotienten von z bis zur ¥^^ Ordnung. 



Fügen wir die Transformationen aller ersten, zweiten, . . . Jc^°^ 

 Differentialquotienten von z zu denen der Gruppe hinzu, so bilden die 

 neuen oo'' Transformationen, wie zu vermuten ist, wieder eine r-glied- 

 rige Gruppe. Wir wollen auf den Beweis hierfür nicht eingehen. 

 Die infinitesimalen Transformationen dieser Jc-mal erweiterten Gruppe Erwoiterto 



1 ■ . . -»--^ Gruppe. 



ergeben sich durch Zo- malige Erweiterung der infinitesimalen Trans- 

 formationen der gegebenen Gruppe. Die Incremeute, welche die Diffe- 



