752 Kapitel 23, § 4. 



rentialquotienten bei den infinitesimalen Transformationen der gegebe- 

 nen Gruppe erfahren, lassen sich aus den Incrementen ds, dx^^ . . dxn 

 von 0, x^^. . Xn selbst berechnen. Denn aus 



d^ ^Pidxi + ••-{- PndXn 



folgt durch Variation, da die Zeichen d und d vertauschbar sind: 



dös ^ öp^ • dx^ + • * + ^Pn • dXn + 

 -\- Piddx^ + • • -\- pnddxn. 



Sind dß, dXi . . dXn gegeben als Functionen von 0, x^ . . Xn und setzt 

 man für d0 seinen Wert p^dx^ + ' * -\- PndXn ein, so erhält man eine 

 Gleichung, die in n Relationen zur Bestimmung von 8p^ . . dpn zer- 

 fällt. Analog ergeben sich die Incremente der höheren Differential- 

 quotienten. 



Wir können also unsere r-gliedrige Gruppe bis zu den Differen- 

 tialquotienten beliebig hoher Ordnung erweitern. Wir werden sogleich 

 sehen, dass es genügt, die Gruppe r~mal zu erweitern. Es seien 

 Xj^f. . X/f die r- mal erweiterten infinitesimalen Transformationen der 

 Gruppe. 



Das unbeschränkt integrabele System Slk = soll nun bei der 



Gruppe invariant sein. Die Incremente dilk, welche die ß^ bei den 



hinreichend erweiterten infinitesimalen Transformationen der Gruppe 



erfahren, sollen also vermöge des Systems Sl^ == verschwinden. Weil 



nun die Incremente der k^^^ Differential quotienten von 0, x^. . Xn und 



den Differentialquotienten bis zur Ti}'^^ Ordnung abhängen, so ist Fol- 



Aiio Diffgin.gendes einleuchtend: Betrachten wir nur die Gesamtheit aller Diffe- 



orduung: rentialglcichungcn ß^ = bis zur r^^^ Ordnung — wir wollen sie mit 



'*~ ■ Qj, = bezeichnen — , so bleibt dies kleinere System ^a: = für sich 



bei der r-mal erweiterten Gruppe invariant. Andererseits aber wird 



durch dieses kleinere System das ganze System Slk= völlig definiert, 



da alle Differentialquotienten höherer als q^^^ Ordnung aus denen von 



gter Ordnuug durch Differentiation nach x^ . . Xn hervorgehen und 



g-^r ist. 



Wir können uns also auf die bei der r-mal erweiterten Gruppe 

 invarianten Systeme von Differentialgleichungen ^k = von höch- 

 stens r^'^^ Ordnung beschränken. 

 Baum Ti^v Dcutcu wir die Veränderlichen der r-mal erweiterten Gruppe, 



der r-mal . i • ♦ 



erweiterten nämlich 0, x^ . . Xn Und die Differeutialquotienten von z bis zur r*^** 

 Ordnung — ihre leicht zu berechnende Anzahl sei gleich N — als 

 gewöhnliche Punktcoordinaten in einem Räume R^f von N Dimen- 



