Das allgemeine Äquivalenzproblem. 753 



sioneu, so stellt das System O* = eine Mannigfaltigkeit M in diesem invariante 

 Räume dar, die gegenüber der r-mal erweiterten Gruppe invariant ist. im'/i.v- 



Aber nicht jede bei der r-maX erweiterten Gruppe invariante 

 Mannigfaltigkeit M gebort zu einem System von Differentialgleichungen, 

 das eine Schar von äquivalenten Mannigfaltigkeiten iüf im Räume Z?„ + i 

 definiert. Denn es giebt ja Scharen von w-fach ausgedehnten Mannig- 

 faltigkeiten im Bn+i, die bei der vorgelegten Gruppe invariant sind 

 und nicht nur aus äquivalenten Mannigfaltigkeiten bestehen. Jede 

 Mannigfaltigkeit einer solchen Schar geht zwar bei der gegebenen 

 Gruppe in eine der Schar über, aber nicht notwendig in jede. Wir 

 wollen eine Schar von w-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten im 

 Bn + i, die bei der gegebenen Gruppe invariant ist, aber nicht nur aus 

 den Mannigfaltigkeiten besteht, die mit einer bestimmten der Schar 

 äquivalent sind, eine reducihele invariante Schar nennen. Eine irreducihele^^'^^^''^^^^^ 

 soll also nur aus den Mannigfaltigkeiten bestehen, die aus einer der """^ 

 Schar durch Ausführung aller Transformationen der Gruppe hervor- 

 gehen. Jede reducibele Schar zerfällt in mindestens <x>^ irreducibele. 

 Auch jede reducibele Schar wird durch ein unbeschränkt integrabeles Keducibeio 

 System von Differentialgleichungen Wk=0 definiert. Ist .^^. = das' ''du'rch'^" 

 unbeschränkt integrabele System, das eine in jener reducibelen Schar ^'~"' 

 enthaltene irreducibele Schar definiert, so ziehen die Gleichungen 

 i>lk = die Gleichungen Wk=0 nach sich. Letztere sind also dann in»A = oent 

 ersteren enthalten. Auch alle reducibelen Scharen, die aus höchstens i*J.*=o" 

 oü'" Mannigfaltigkeiten bestehen, haben ein solches Gleichungensystem 

 W]c=0, durch das alle Differentialquotienten von einer gewissen Ord- 

 nung, die höchstens gleich r ist, durch die niederen bestimmt werden, 

 sodass wir also auch bei einem solchen System Tf* = mit den Diffe- 

 rentialgleichungen *•*«'■ Ordnung abbrechen dürfen. Die sich so ergeben- 

 den Gleichungen ^^ = definieren ebenfalls im B^ der r- mal erweiter- 

 ten Gruppe eine invariante Mannigfaltigkeit, die aber in mindestens 

 oo^ kleinere einzeln invariante Mannigfaltigkeiten zerfällt. 



Hieraus folgt, dass die irreducibelen Scharen ^^ = nur durch 

 kleinste invariante Mannigfaltigkeiten im Baume Bn dargestellt werden; Kleinste 

 ob durch alle diese oder nicht, lassen wir hier dahingestellt. Wir MaM^gf! 

 haben aber in Kap. 16 gesehen, wie man alle kleinsten invarianten 

 Mannigfaltigkeiten bei gegebener Gruppe zu bestimmen hat. Wir schal- 

 ten hierzu noch ein, dass man beweisen kann, dass nicht alle r-reihio-en 

 Determinanten der r-mal erweiterten Gruppe X^^f. . X/f identisch 

 Null sind. Wir halten uns aber mit dem Beweis hierfür nicht auf. 

 Nach Kap. 16 zerfallen nun die kleinsten invarianten Mannigfaltig- 

 keiten im B]v in solche, für welche die r-reihigen Determinanten der 



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