754 Kapitel 23, § 4. 



Matrix der Gruppe Xj*"/", . X/f nicht sämtlich verschwinden, und in 



solche, für welche diese Determinanten sämtlich verschwinden. Die 



der ersteren Art werden durch Relationen zwischen den Invarianten 



Differential- jr J"^ der r-mal erweiterten Gruppe, also durch die Differentidlinva- 



invarianten. ■'■ 



rianten der gegebenen Gruppe bis zu denen r^^^ Ordnung bestimmt. 

 Äquivalenz- Llcgcn uuu zwci w-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten: 



kritericn. ° ö O O 



im Räume Iln-\-i der gegebenen Gruppe Xj/". . Xrf vor, so hat man 

 hiernach zur Entscheidung ihrer Äquivalenz so zu verfahren: Man 

 erweitert die Gruppe r-mal und untersucht, ob die r- reihigen Deter- 

 minanten dieser Gruppe X/f. . X/f für die beiden Mannigfaltigkeiten, 

 bei denen sich ja die Differentialquotienten von z in bestimmter Weise 

 durch x^ . . Xn ausdrücken, sämtlich verschwinden oder nicht. Ist 

 letzteres der Fall, so berechnet man die Differentialinvarianten J^. . Jg 

 der Gruppe X^f. . Xrf, indem man dabei bis zur r*^° Ordnung auf- 

 steigt. Sie werden für die beiden Mannigfaltigkeiten bestimmte Func- 

 tionen von x^. . Xn. Alsdann sind die Mannigfaltigkeiten dann und 

 nur dann äquivalent, wenn bei beiden zwischen J^. . J, genau dieselben 

 Relationen bestehen. Hierbei hat man natürlich J^. . J^ immer als 

 sogenannte Hauptlösungen der vollständigen Systeme, deren Lösungen 

 sie sind, zu wählen. Doch wollen wir auf diesen Punkt nicht näher 

 eingehen. 



Wenn nun zweitens für die eine Mannigfaltigkeit z = (p sämt- 

 liche r-reihige Determinanten der Matrix der r-mal erweiterten Gruppe 

 X^^f. . X/f verschwinden, wenn also diese Mannigfaltigkeit singulär 

 ist, 30 kann sie nur dann mit der andern Mannigfaltigkeit z = tf) 

 äquivalent sein, wenn für diese dasselbe gilt. Es könnten für z = cp 

 auch alle (r — Je)- reihigen Determinanten verschwinden. Dasselbe 

 müsste dann für z == if der Fall sein. Hierbei ist aber eine gewisse 

 Vorsicht zu beachten. Eine gleich Null gesetzte Determinante kann 

 nämlich in mehrere Factoren zerfallen. Es müssen für beide 

 Mannigfaltigkeiten, soll überhaupt Äquivalenz möglich sein, dieselben 

 irreducibelen Factoren der' Determinanten verschwinden. Zur Ent- 

 scheidung, ob nun wirklich Äquivalenz eintritt oder nicht, verfahren 

 wir weiterhin so: Für beide Mannigfaltigkeiten verschwindet dieselbe 

 Reihe von (n — h)- reihigen Determinanten : 



z/i = 0, ^2=0, .. .//^ = 0, 



und nicht alle (n — Ic — l)-reihigen. Diese q Gleichungen werden gewisse 

 unter den Differential quotienten von z als Functionen der übrigen und 



