Das allgemeine Äquivalenzproblem. 755 



von Xi. . x„ bestimmen. Wir berücksichtigen alsdann nur noch die- 

 jenigen Differentialquotienten, die durch keine Relation gebunden sind. 

 Sie seien mit z^ . . Sy bezeichnet. Wenn wir in den Transformationen 

 der r-mal erweiterten Gruppe für die übrigen ihre Werte in x^^..Xn, 

 01 . . Sy einsetzen und nur die Transformationen .dieser w + v Ver- 

 änderlichen betrachten, so erhalten wir eine Gruppe*) in x^.-Xn, 

 0, , . 2y, die wir eine verkürzte nennen. Nunmehr sind die Invarianten verkürzte 



i ^ } _ Gruppe. 



I^. . la dieser Gruppe zu bestimmen. Geometrisch gedeutet kommt 

 dies nämlich darauf hinaus, dass man die kleinsten invarianten Man- 

 nigfaltigkeiten bestimmt, in welche die durch 



z/i = 0, z/g = 0, . . z/^ = 



definierte invariante Mannigfaltigkeit im Räume B^ zerfallt. Die 

 beiden gegebenen Mannigfaltigkeiten 2 = (p, z = -ip liefern nun für 

 I^. . la bestimmte Werthe in x-^ . . Xn- Sie sind dann und nur dann 

 äquivalent, wenn bei beiden genau dieselben Relationen zwischen I^. .la 

 bestehen. Man kann nämlich einsehen, dass die gegebenen beiden 

 Mannigfaltigkeiten im Räume x^..Xnj z^.-Zv kein bei der verkürzten 

 Gruppe singuläres Gleichungensystem erfüllen. 



An diese allerdings nicht ganz erschöpfend abgeleiteten Aquiva- 

 lenzkriterien knüpfen wir eine Beihe wichtiger Bemerkungen an**). sTmork^^n 



Es kann vorkommen, dass es solche Functionen der Invarianten 

 J^. . Js giebt, die sich auch für die Wertsysteme der Veränderlichen 

 und Differentialquotienten, die dem singulären System 



^^ = 0, ^2 = o,..4, = 



genügen, noch regulär verhalten, ohne constant zu werden. Jede 

 solche Function giebt alsdann eine der Invarianten I^ . . la, indem 

 man in ihr alles durch x^ . . Xn, z^. . Zy ausdrückt. Ob aber in dieser 

 Weise alle Invarianten 1^ . . I„ aus den J^. .J, abgeleitet werden 

 können, das ist eine Frage, die wir hier gar nicht behandeln werden. 

 Ferner sei hervorgehoben, dass man sich das Problem stellen 

 kann, alle unbeschränkt integrabelen Systeme von Differentialgleichungen 

 il^ = aufzustellen, die irreducihele invariante Scharen von n-fach 



*) Ausführlicheres hierüber findet man im I. Abschnitt des Werkes: Sophus 

 Lie , Theorie der Transformationsgruppen, hearh. unter Mitwirk. v. Engel, Kap. 14, 

 insbesondere § 64. 



**) Es wird beabsichtigt, in einem ausführlichen Werke über DiiFerential- 

 invarianten die ganze Äquivalenztheorie in aller Vollständigkeit und für die Praxis 

 geeigneter zu entwickeln und zugleich durch viele Beispiele zu erläutern. Wir 

 beschränken uns auf einzelne Bemerkungen. 



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