756 Kapitel 23, § 4. 



ausgedehnten Mannigfaltigkeiten im jR„+i definieren. Wir haben dies 

 Problem für die Gruppe der Bewegungen im Räume in § 5 des vorigen 

 Kapitels in grossen Zügen erledigt und wollen hier auf die allgemeine 

 Behandlung nicht weiter eingehen. Indem man zunächst dieses Problem, 

 nicht das eigentliche Äquivalenzproblem löst, kommt man zu dem 

 Verfahren, das practisch den Vorzug verdient. Man kann überhaupt 

 unser Verfahren noch vielfach bequemer gestalten, unter anderem da- 

 durch, dass man die Erweiterung der Gruppe schrittweise vornimmt 

 und jedesmal die invarianten Systeme von Dijfferentialgleichungen ^^ = 

 sucht, die unbeschränkt integrabele Systeme definieren. Aber auf diese 

 Vereinfachungen wollen wir hier nicht näher eingehen. 



allgemeine ^^^ habcu uns auf die Iquivalenztheorie w-fach ausgedehnter 



Problem. Mannigfaltigkeiten im Räume von n -\- 1 Dimensionen beschränkt, 

 aber schon hervorgehoben, dass sich die Theorie für Mannigfaltigkeiten 

 von weniger Dimensionen ebenso entwickeln lässt. Wenn eine r- gliedrige 

 Gruppe in n Veränderlichen x^. . . Xn vorliegt, so kann man etwa q 

 der Veränderlichen als unabhängig betrachten, sagen wir x^ . . x^, und 

 die übrigen r*;^+i . . Xn als Functionen von ihnen. Alsdann handelt es 

 sich um die Äquivalenzkriterien zweier g-fach ausgedehnten Mannig- 

 faltigkeiten, deren jede durch ein Gleichungensystem von der Form: 



3^3 + 1 = g)q + l{Xi . . Xg), . .Xn = (Pn{Xi . . Xq) 



dargestellt wird. In diesem Falle hat man wieder die Gruppe r-mal zu 

 erweitern, indem man die Transformationen mitberücksichtigt, welche 

 die Differentialquotienten von iCj+i . . Xn nach x^ . . Xg, bis zu denen 

 yter Ordnung, bei der Gruppe erfahren. Auch hier sind die Invarianten 

 dieser erweiterten Gruppe oder — bei singulären Gebilden -- die In- 

 varianten einer aus letzterer Gruppe durch eine gewisse Verkürzung 

 hervorgehenden Gruppe von entscheidender Bedeutung. Für beide 

 Mannigfaltigkeiten müssen diese Invarianten durch genau dieselben 

 Relationen verknüpft sein, damit die Flächen äquivalent seien. 

 schSde'ne ^^ uachdcm man die Zahl q= 1,2 . .n — 1 wählt, erhält man 



^Diffinv°''J®^^®^^^ ^i^® Reihe von Invarianten der erweiterten Gruppe, und zwar 

 eine unendliche Reihe, wenn man bis zu den Differentialquotienten 

 beliebig hoher Ordnung erweitert. Wir wollen beweisen, dass man 

 alle Differentialinvarianten einer Reihe durch Differentiation aus einer 

 endlichen Anzahl von Differentialinvarianten ableiten kann. 



Wir beweisen dies für die Reihe der Differentialinvarianten, die 

 wir bisher betrachtet haben, nämlich in dem Fall, dass wir nur eine 

 Veränderliche z als abhängig, alle übrigen x^ . . Xn als unabhängig auf- 



