Das allgemeine Äquivalenzproblem. 757 



fassen. In den anderen Fällen kommt man durch ganz entsprechende 

 Betrachtungen zum Ziele. 



Es sei also eine r-gliedrige Gruppe in n -{- 1 Veränderlichen 

 z, Xi..x„ vorgelegt. 'Wir erweitern sie etwa wi-mal durch Hinzu- 

 nahme der Transformationen, welche die ersten, zweiten . . ., w*®° par- 

 tiellen Differentialquotienten von nach x^. .-x^ bei der Gruppe erfahren. 

 Wir bemerkten schon früher, dass dadurch bei hinreichend grossem m 

 eine r-gliedrige Gruppe hervorgeht und dass sich durch Nullsetzen 

 der infinitesimalen Transformationen dieser Gruppe ein gerade r-glied- 

 riges vollständiges System ergiebt, dessen Lösungen die Diiferential- 

 invarianten bis zur m^^^ Ordnung sind. Erweitern wir {m -{- l)mal, 

 so treten neu hinzu die Differeutialinvarianten (m-f- 1)*®' Ordnung. Da 

 nun bei dieser Erweiterung die (m -}- 1)*^^ Diifferentialquotienten von 



2 als Veränderliche im r-gliedrigen vollständigen System hinzutreten, 

 so folgt, dass es gerade so viele von einander und von den niederen 

 DifFerentialinvarianten unabhängige Differentialinvarianten (tu -\- l)*®"" 

 Ordnung giebt, als die Anzahl aller [m -f- 1)*^"^ Differentialquotienten 

 von beträgt. Diese Bemerkung wird nachher gebraucht werden. 



Es mögen nun zunächst J^ . . </„ irgend welche n Differential- 

 invarianten sein, zwischen denen keine Relation besteht. Jede Gleichung luvanauto 



' '=' Biffgl. 



ist dann eine bei der Gruppe invariante Differentialgleichung, d. h. sie 

 definiert eine invariante Schar von Functionen s = (p(xi. . Xn), also 

 eine invariante Schar von n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten im 

 Räume jB„+i der Veränderlichen 2, x^.-Xn unserer Gruppe. Bilden 

 wir alle möglichen derartigen Gleichungen, so erhalten wir jedesmal 

 eine solche invariante Schar. Die Gesamtheit aller dieser invarianten 

 Scharen ist natürlich ebenfalls bei der Gruppe invariant. Für jede 

 solche Function z == q){Xi. . Xn) werden J^. . Jn von einander ab- 

 hängige Functionen von x^. . Xn. Mithin machen alle diese Functionen 



3 = (p{x^,.Xn^ die Functionaldeterminante von Ji . . Jn hinsichtlich 

 x^. . Xn identisch gleich Null. Also sind sie definiert durch die par- 

 tielle Differentialgleichung 



(11) 2+^^ "^ = 0, 



die somit bei der Gruppe ebenfalls invariant ist. Bei ihrer Bildung 

 ist z als Function von x^. . Xn zu behandeln, bei der partiellen Diffe- 

 rentiation nach Xi also ist auch 3 sowie jeder Differentialquotient von 

 zu differenzieren. 



