758 Kapitel 23, § 4. 



Nach Voraussetzung ist die Functionaldeterminaute nicht für be- 

 liebige Functionen z von x^ . . Xn identisch Null, da sonst eine Rela- 

 tion zwischen J^. . Jn identisch bestände. Wenn unter J^. . J^ keine 

 Differentialinvariante von höherer als m*°' Ordnung, aber wenigstens 

 eine von gerade m*^' Ordnung vorhanden ist, so ist die Relation 

 fl{Ji..Jn) = eine Differentialgleichung höchstens m*®' Ordnung. Weil 

 die Differentialgleichung (11) von allen Functionen 2 erfüllt wird, die 

 irgend einer der Relationen Sl = genügen, so ist die Differential- 

 gleichung (11) von mindestens (m -j- 1)*®' und andererseits offenbar 

 nicht von höherer Ordnung. 



Es mögen nun Ji..Jn+i solche {n -{- 1) Differentialinvarianten 

 sein, zwischen denen keine Relation identisch besteht und unter denen 

 mindestens eine von m}^^, aber keine von höherer Ordnung vorhanden 

 ist. Alsdann sind auch 



e/j, e/2 . . .Jn—l} Jn + l cJ„ 



n solche Differentialinvarianten, für welche die obigen Schlüss^e ge- 

 macht werden können, welchen constanten Wert die Grösse c auch 

 haben möge. Also ist: 



(12) 2J + .- . - . • ^-^^ —^ ^ == 



^ ^ — cxj^ dx^ dx^_^ dx^ 



eine invariante Differentialgleichung (m -f- 1)*®' Ordnung. Sie lässt 

 sich auch so schreiben: 



Da sie für jeden constanten Wert von c invariant ist, so folgt, dass 

 ihre linke Seite für sich invariant ist. Mithin ist 



pifforontiai-eme Differenüalinvariante (m + l)"''' Ordnung. Sie ist nicht etwa iden- 



luvanauten , \ i / c 



'^öi^-^ordn. tisch einer Constanten gleich, da die Relation (12) für keinen con- 



Difforentia- stauten Wert von c identisch besteht. Diese Differentialinvariante 



lässt sich viel einfacher schreiben: Wenn wir nämlich unter eine 



