Das allgemeine Äquivalenzproblem. 759 



ganz beliebige Function von x^ . . Xn verstehen, so werden J^. . Jn für 

 diese Function gewisse Functionen von x^. . x„ werden und zwar von 

 einander unabhängige, sobald die beliebig gewählte Function keiner 

 Differentialgleichung ß ( J^ . . J„) = genügt. Indem wir uns also 

 unter eine beliebige Function von x^. . Xn verstanden denken, können 

 wir umgekehrt x^. . Xn als von einander unabhängige Functionen von 

 Ji-.Jn auffassen. Alsdann ist J„+i auch eine gewisse Function von 

 J^..Jn. Es ist in dieser Auffassung: 



cJn + l ^ j L ^'^n + l ^ ^ ^' ^« + 1 



(/£= 1, 2.. n), 

 und hieraus folgt durch Auflösung: 



V 4- ^ ^ - . . ^'^" + ^ 



— dxj^ dx.^ dx^ 



Demnach kann die gefundene Differentialinvariante (m + l)*" Ordnung 

 auch so geschrieben werden: 



^Jn + l 



Wir können ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit an- 

 nehmen, die Zahl m sei so gross gewählt, dass unter den Differential- 

 invarianten bis zur m*^'* Ordnung sicher n existieren, etwa J^ . . Jn, 

 zwischen denen keine Relation Sl = Q besteht. Wir wissen, dass zu 

 den Differentialinvarianten bis zur m^'' Ordnung gerade soviele von 

 (^-|-l)ter Ordnung hinzutreten: I^, I^ . . ^.„.+1, als es (m + 1)*^ 

 Differentialquotienten von 3 giebt. Diese Anzahl bezeichnen wir mit 

 £,„4.1. Zwischen den niederen Differeutialinvarianten und 7i,72-- A«-fi 

 besteht keine Relation. Wir bemerken, dass I^, I^ . . I.„^^^ insbeson- 

 dere gerade hinsichtlich der (m + 1)*«'^ Differential quotienten von z von 

 einander unabhängig sind, wie aus ihrer Definition durch das r-glie- 

 drige vollständige System ersehen werden kann, das hinsichtlich der 

 Differentialquotienten von f nach den (rti + l^''^ Differentialquotienten 

 von z auflösbar ist. Wenn wir daher wie oben J^ . . J„ als unab- 

 hängige Veränderliche einführen, so folgt, dass jeder Ausdruck 



|ii (A=l, 2..£„.+i, /^=1. 2..n) 



eine Differentialinvariante (m -f 2)*^' Ordnung ist. Wir behaupten, 



