760 Kapitel 23, § 4. 



dass sich alle zu den Differentialinvarianten 1., 2. . . (m + l)*«*'^ Ord- 

 nung hinzutretenden Differentialinvarianten (m + 2)*" Ordnung als 

 Functionen dieser Ausdrücke und der niederen Differentialinvarianten 

 darstellen lassen. Es sind ja I^..!,^^^ von einander unabhängig 

 hinsichtlich der (m + ly^^ Differentialquotienten von z, mithin sind 

 unter den Ausdrücken 



sicher soviele von einander hinsichtlich der (m + 2)*«"^ Differential- 

 quotienten unabhängige enthalten, als die Anzahl dieser Differential- 

 quotienten beträgt, also auch — wie bei Einführung der neuen Ver- 

 änderlichen Ji . . j; statt Xi..Xn hervorgeht — unter den Ausdrücken 



jj- {X = \,2 ..Sm+xj ^=1, 2..n). 



k 



Wir wissen aber, dass es gerade soviele neue Differentialinvarianten 

 (m + 2)*«'^ Ordnung giebt, als Differentialquotienten {m -f 2)*^' Ordnung 

 vorhanden sind. 



Mh.^onir' "^i^ ^aben liermit alle Differentialinvarianten Us mir (m + 2)*«'^ 



Diffewntia- Ovilnung durch Bifferentiationsprocesse aus denen niederer Ordnung ab- 



*^°"- geleitet. Entsprechend können wir die {m + 3)*" Ordnung durch 



Differentiation finden, u. s. w. Damit ist unsere Behauptung für die 



Reihe der Differentialinvarianten bewiesen, die sich ergiebt, sobald 



man nur eine Veränderliche als abhängig auffasst. 



Durch derartige Betrachtungen beweist man nun auch ganz all- 

 gemein den Satz: 



Theorem 42: Liegt eine beliebige endliche continuierliche 

 Gruppe der Veränderlichen z^..z^, x^..Xn vor, so giebt es immer 

 eine unendliche Reihe von Differentialinvarianten 



die sich sämtlich durch Differentiation aus einer endlich be- 

 grenzten Anzahl derartiger Differentialinvarianten ableiten 

 lassen. 



Diejenigen Differentialinvarianten, aus denen sich alle durch 

 Differentiation ableiten lassen, genügen zu ihrer Definition. Wir be- 



von DifffnV. zeichnen ihren Inbegriff als ein volles System von Differentialinvarianten. 



def sytefs.^^ Vorstehenden Theorem ist also die MidlichJceit jedes vollen Systems 

 von Differentialinvarianten bei endlicher continuierlicher Gruppe aus- 



