Das allgemeine Äquivalenzproblem. 761 



gesprochen*). Auf die Frage, aus wie vielen Differentialinvarianteu 

 das einfachste volle System besteht, gehen wir nicht ein. — 



Da zu jeder Gruppe mehrere Reihen von Differentialinvarianten 

 gehören, je nachdem man die Anzahl der als abhängig aufzufassen- 

 den Veränderlichen wählt, so erhebt sich die Frage, ob man die ver- 

 schiedenen Reihen aus einander ableiten kann. Man kann einsehen, 

 dass sie sich sämtlich aus einer Reihe durch ausführbare Operationen 

 ableiten lassen. Dies soll im Folgenden angedeutet werden: 



Denken wir uns die endlichen Gleichungen einer ?--gliedrigen 

 Gruppe in n Veränderlichen vorgelegt, die wir jetzt mit Ei . . J" be- 

 zeichnen wollen: 



(13) j/= fi (j, . . j„, «j . . «,) (^• = 1 , 2 . . w). 

 Fügen wir noch hinzu: 



(14) x:=Xi (^•= 1, 2..n), 



so bilden alle 2n Gleichungen wieder eine r-gliedrige Gruppe und 

 zwar in den 2n Veränderlichen £,..£„, x^..Xn. Betrachten wir Ei-.Jn 

 als abhängige, x^ . . Xn als unabhängige Veränderliche, so besitzt diese 

 neue Gruppe eine Reihe von Differentialinvarianteu von der Form: 



tt( "^^^ 



t/1 ^1 . . Xn, Ji • • £«, ^^ , 





Wenn wir nun andererseits die Gleichungen der Gruppe (13) mit 

 der Abänderung aufstellen, dass wir statt j und j bez. j und x 

 schreiben : 



(15) h = fii^i • • ^n, a^..ar) (i = 1 , 2 . . n) 



und wenn wir die Gleichungen hinzufügen, die durch Differentiation 

 nach x^. . Xn aus diesen hervorgehen : 



Hi df,{x, a) 



^% d^fiix, a) 



d^^i^ dx^dx^ (*,'<;; ^= 1, 2.. w), 



*) In der Theorie der Formen wird auch von der Endlichkeit des Formen- 

 systems geredet. Dort aber wird darunter verstanden, dass sich alle rationalen 

 ganzen Invarianten rational und ganz durch eine endliche -Anzahl solcher aus- 

 drücken lassen. Dort also hat das volle System eine andere Specialbedeutung. Es 

 erscheint angebracht, den Begriff; volles System in der im Text angegebenen 

 Weise für beliebige Gruppen festzusetzen. (Vgl. S. 744, 745.) 



