762 Kapitel 23, § 4. 



so kann man aus allen die Parameter a^, . ar eliminieren und dadurch 

 zu einem System von Differentialgleichungen 



gelangen, dessen allgemeinste Lösungen gerade die Form (15) haben. 

 Dieses System kann immer auf eine solche Form gebracht werden, 

 dass sich durch Differentiation nichts neues ergiebt; genauer ausge- 

 drückt: wenn m die Ordnung des Systems (16) ist, so sollen alle 

 Differentialgleichungen m^°^ und niederer Ordnung, die aus (16) durch 

 Differentiationen und Eliminationen hervorgehen, schon ohne Differen- 

 tiation aus (16) folgen. Alsdann heisst das System (16) das der 



'^^f^^^*'^°''^-Definitionsgleichungen der endlichen Transformationen der Gruppe (13). 



derendi.Trf.j]s 0\\\^ j^ju (jer wichtigc Satz, den wir aber hier nicht beweisen 



der Gruppo. '^ o 7 



wollen*), dass sich die Definitionsgleichungen auf eine solche Eorm 

 V ( ^^' ^^' ^^^ ^'^' \ — ff, r \ 



(7. = 1, 2...) 



bringen lassen, in der die Vk Differentialinvarianten der Gruppe (13) (14) 

 in -jc^ . . In, Xi . . Xn sind. Es gilt sogar der Satz, dass sich jede 

 Differentialinvariante 





dx ' 3«i' 



der Gruppe (13) (14) als Function von x^. .Xn allein vermöge der 

 Definitionsgleichungen der Gruppe (13) und der aus ihnen durch 

 Differentiation nach x^. . Xn hervorgehenden Gleichungen ausdrücken 

 lässt. Alle diese Differentialinvarianten sind also Functionen einer be- 

 grenzten Anzahl V^, Fg . . . derselben, der Differentialquotienten dieser 

 nach Xi. . Xn und der n Grössen x^ . . Xn, die selbst bei der Gruppe 

 (13) (14) invariant sind. 

 ^'s'tem^on Solold olso die Definitionsgleichungen der endlichen Transforma- 

 din'^Defi'id- ^^"^^^^ ß^^ß^ Gruppe (13) vorliegen, kennt man ein volles System von 

 ^'■'"'^^^''^'^'^■Differeittialinvarianten der durch Hinmfügung von (14) hervorgehenden 

 Gruppe (13) (14). 



Dass sich nun alle übrigen Reihen von Differentialinvarianten aus 

 einer Reihe durch ausführbare Operationen ableiten lassen, erläutern 

 wir durch ein Beispiel: 



*) Siehe Lie, Bie Grundlagen für die Theorie der unendlichen continuier- 

 liehen Transformationsgruppen. Leipziger Berichte 1891, S, 316 ff. 



