Das allgemeine Äquivalenzproblem. 763 



Betrachteii wir die Gruppe der Bewegungen im Räume (je, 'g, 5) 

 und fügen wir zu ihren endlichen Gleichungen noch 



x==x, y'=y, z = z 



hinzu, so erhalten wir eine Gruppe in j, t), 5, a;, y, z. Die Definitions- 

 gleichungeu liefern hier das volle System von Diöerentialinvarianten 





y [^, y, l, 9; i, Wx' ' dy' dx~^ '■' 7 



Suchen wir nun z, B. die Reihe der Differentialinvarianten der Flächen 

 im Räume, so haben wir etwa 5 als Function von j und t) aufzufassen 

 oder ganz allgemein J, ^, 5 als Functionen von zwei Hülfsveränder- 

 lichen x, y zu betrachten, die bei der Gruppe nicht transformiert 

 werden. Alle alsdann hervorgehenden Differential invarianten sind die- 

 jenigen unter den obigen U, die 2 weder explicite noch implicite ent- 

 halten. Man findet also alle diese Differentialinvarianten 



durch Elimination von s und den Differentialquotienten von j, ^, 5 

 nach z aus dem vollen System der JJ. Aber von den so erhaltenen 

 Invarianten Y kommen nur die in betracht, die ungeändert bleiben, 

 wenn man an Stelle der Hülfsveränderlichen x, y Functionen derselben 

 als Hülfsveränderliche einführt. Es sind also aus der Reihe aller Y 

 diejenigen auszuwählen, die ungeändert bleiben bei jeder Transforma- 

 tion von der Form 



(17) £'=£, ^'=t), §'=5, x = 0{x,y), y=W{x,y), 

 insbesondere also bei jeder infinitesimalen: 

 ^j = 0, ^9 = 0, (55 = 0, dx = (p(x, y)dt, dy = t{x, y)dt. 



Wir haben eine ähnliche Betrachtung in § 2 des 22. Kap. (vgl. die 

 Formel (8) S. 676) angestellt. Wie dort ist es auch hier erforder- 

 lich, ein vollständiges System zu integrieren, dessen Coefficienten linear 

 in den Veränderlichen mit constanten Coefficienten sind (wie auf 

 S. 678 das vollständige System Äf=0, Bf=0, Cf=0). Ein 

 solches vollständiges System kann bekanntlich stets durch ausführbare 

 Operationen integriert werden. Wir erhalten dadurch die gesuchten 

 Differentialinvarianten, die von der Wahl der Hülfsveränderlichen x, y 

 unabhängig sind, denn man kann zeigen, dass die gefundenen Differen- 

 tialinvarianten auch gegenüber jeder endlichen Transformation (17) 

 invariant bleiben *). Wir können nun z. B. x, y direct durch j, t) 



*) Alle Transformationen (17) bilden eine sogenannte unendliche Grijppe. 



