764 Kapitel 23, § 4. Kapitel 24. 



ersetzen und erhalten alsdann die gesuchten DiJBFerentialinvarianten in 

 der Form 



''»' \i; v> ä> 0^, 0^, gj» ;, 



also in der Form, wie sie in § 5 des 22. Kap. auftreten. 



Man bemerkt, dass sich entsprechende Betrachtungen stets an- 

 stellen lassen, und gelangt zu dem 



Theorem 43: Sohald die Befinitionsgleichungen der end- 

 ^onSnv.^*^^^^ Transformationen einer (endlichen) continuierlichen 

 aufiinor. G^^uppe vorHcgen, lann man alle Reihen von Differential- 

 invarianten der Gruppe durch ausführbare Opertionen finden. 



^Grnvpet.'' ^^^ Wenigen Worten wollen wir die analoge Theorie bei den unend- 



lichen Gruppen besprechen. Eine unendliche Gruppe ist eine Schar von 

 Transformationen, die erstens nicht nur von einer endlichen Anzahl von 

 Parametern, sondern z. B. auch von willkürlichen Functionen abhängt, und 

 die zweitens die Gruppeneigenschaft besitzt, dass stets die Aufeinanderfolge 

 zweier Transformationen der Schar einer, einzigen Transformation der Schar 

 äquivalent ist. Insbesondere wird noch vorausgesetzt, dass die endlichen 

 Gleichungen der Gruppe durch Diiferentialgleichungen , die Defmitions- 

 gleichungen der Gruppe, definiert seien. Eine genauere Begriffsbestimmung 

 findet man in den einschlägigen Abhandlungen von Lie*). 



Zu jeder unendlichen Gruppe gehören ebenfalls mehrere Reihen von 

 Differentialinvarianten, die berechnet werden können, sobald die Definitions- 

 gleichungen der Gruppe vorliegen. 



Auch hier gilt der wichtige Satz, dass die Zahl der Kriterien für die 

 Äquivalenz zweier Mannigfaltigkeiten gegenüber der unendlichen Gruppe 

 immer endlich ist. Dieser Satz gilt jedoch nicht für Gruppen, die nicht 

 durch Differentialgleichungen definiert sind, z. B. nicht für die unendliche 

 Gruppe aller Transformationen von der Form 



wo (p in beiden Gleichungen dieselbe beliebige Function bedeutet. 



Der Unterschied zwischen allgemeinen und singulären Mannigfaltig- 

 keiten tritt auch bei den unendlichen durch Differentialgleichungen definier- 

 ten Gruppen auf Auch hier werden die singulären Mannigfaltigkeiten, die 

 ihre besondere Invariantentheorie besitzen, durch Nullsetzen von Deter- 

 minanten gewisser Matricen gefunden. 



Für allgemeine wie für singulare Mannigfaltigkeiten drücken sich die 

 Äquivalenzkriterien dadurch aus, dass die Differentialinvarianten eines ge- 

 gewissen vollen Systems bei zwei äquivalenten Mannigfaltigkeiten genau 

 dieselben Relationen erfüllen müssen. 



Auf weitere Ausführungen im Einzelnen gehen wir nicht ein. In dem 

 oben angekündigten Werke über Differentialinvarianten sollen alle diese 

 Theorien ausführlich dargestellt werden. 



*) Namentlich in der oben citierten über „die Grandlagen für die Theorie 

 der unendlichen continuierlichen Transformationsgruppen" . 



