über DifPerentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 765 



Kapitel 24. 

 Über Differentialgleichungen mit Fnndamentallösnngen. 



Dieses letzte Kapitel steht mit den vorhergehenden Kapiteln dieser 

 Abteilung in keinem näheren Zusammenhang, sondern behandelt wesent- 

 lich andere Probleme, aber ebenfalls Anwendungen der Gruppentheorie. 



In den „Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten 

 infinitesimalen Transformationen" hatten wir uns die Aufgabe gestellt, 

 zu zeigen, dass sehr viele der alten classischen Integrationsmethoden 

 von Differentialgleichungen ihren Ursprung darin haben, dass die be- 

 treffenden Differentialgleichungen bekannte infinitesimale Transforma- 

 tionen oder bekannte Gruppen von Transformationen gestatten. Man 

 kann nun einen höheren Standpunkt einnehmen und zeigen, dass 

 andere classische Methoden, die ausserhalb des damaligen Kreises von 

 Theorien stehen, doch von einem anderen Gesichtspunkte aus be- 

 trachtet mit dem Gruppenbegriff in enger Beziehung stehen. 



Zunächst werden wir nun ein specielles Problem, das der Integra- 

 tion der Riccati'schen und der Verallgemeinerung der Riccati'schen Glei- 

 chung in Zusammenhang mit dem Gruppenbegriff besprechen, alsdann 

 zu Systemen von linearen Differentialgleichungen aufsteigen und zum 

 Schlüsse die allgemeinste Classe von Differentialgleichungen bestimmen, 

 die von dem hier einzunehmenden Standpunkt aus mit der Gruppen- 

 theorie in sehr enger Beziehung steht. Es sind dies die Differential- 

 gleichungen, deren allgemeinste Lösungen sich als Functionen einer 

 Anzahl irgend welcher Particularlösungen ausdrücken lassen. 



Wir gelangen dadurch zu einer sehr wichtigen Classe von Differen- 

 tialgleichungen. Handelt es sich nämlich um die Integration eines 

 vollständigen Systems, das bekannte infinitesimale Transformationen 

 zulässt, so erfordert die Lösung dieses Problems, die von Lie zuerst 

 und allgemein entwickelt worden ist*), die Integration solcher Hülfs- 

 gleichungen, die sämtlich die Form besitzen, auf die wir hier werden 

 geführt werden. 



Hieraus erhellt, dass die Betrachtungen des gegenwärtigen letzten 

 Kapitels von grosser Bedeutung für die Integrationstheorie über- 

 haupt sind. 



Noch bemerken wir, dass wir die in den „Vorlesungen über 

 Differentialgleichungen" entwickelten Theorien hier nicht gebrauchen, 

 also auch nicht als bekannt voraussetzen. 



*) Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen, die eine continuier- 

 liche endliche Gruppe gestatten. Math. Ann. Bd. 25, S. 71 — 151. 



