766 Kapitel 24, § 1. 



§ 1. Die Riccati'sche Differentialgleicliung. 

 Kiccati'sche Vorselegt sei in zwei Veränderlichen (o und 2 eine gewöhnliche 



Differential- ö o O 



gieicimug Differentialgleichung erster Ordnung von der Form: 



zwischen od o 



(o und 1. tj a\ 



(1) ^ = ^ + Ba, + C«'^ 



in der Ä, B, C Functionen von allein bedeuten. Wir bezeichnen 



jede solche Differentialgleichung als eine Biccati'sche Differentialgleichung. 



z als Zeit Wenn wir 12 als die Zeit deuten und unter (o die gewöhnliche 



gedeutet. ° 



Punktcoordinate auf einer Geraden verstehen, so haben wir anzu- 

 nehmen, dass jeder Punkt (co) der Geraden mit der Zeit s seine Lage 

 auf der Geraden ändert. Die Gleichung (1) sagt aus, dass die Coor- 

 dinate ro in dem auf den Augenblick folgenden Zeitelemente d0 den 

 Zuwachs 



(2) d(o^{Ä + Ba + C(o^)dz 



erfahren soll. Da dies Increment quadratisch in co ist, so folgt, dass 

 Inf. proj. ß, [^ Zeitelement dz eine infinitesimale projective Transformation er- 

 niation. fährt (vgl. § 1 dcs 5. Kap.). Diese infinitesimale projective Trans- 

 formation von (o hat das Symbol: 



UfE^iÄ-{-Ba>-\-Cco^)^{- 



Alle Punkte der Geraden werden also während der Zeit dz projectiv 

 unter einander vertauscht. 



Nun sollen Ä, B, C Functionen von z sein. Diese Coefficienten 

 im Symbol Uf ändern sich also mit der Zeit z. Mithin haben wir 

 uns vorzustellen, dass die Punkte (o) der Geraden von Moment zu 

 Moment in anderer Weise projectiv unter einander transformiert wer- 

 den, derart, dass sie zur Zeit z während des nächsten Zeitelementes 

 dz gerade die infinitesimale Transformation Uf erfahren. 



Die Gleichung (1) integrieren, heisst, a so als Function von z 



und einer Constanten zu bestimmen, dass -v- den vorgeschriebenen 



Wert erhält. Den gesuchten Ausdruck für 03 können wir uns daher 

 so entstanden denken : Wir betrachten im Augenblicke z = etwa 

 einen Punkt (cj^^) der Geraden, führen auf ihn die von Moment zu 

 Moment sich ändernde infinitesimale projective Transformation Uf aus. 

 Zur Zeit z wird er dadurch eine gewisse Lage {co) auf der Geraden 

 erreichen, die eine Function von z und der beliebig gewählten Con- 

 stanten CÜQ, eben die gesuchte Function ist. Die Aufeinanderfolge von 

 mit der Zeit veränderlichen infinitesimalen projectiven Transforma- 



