Die Riccati'sche Differentialgleichnng. 767 



tionen ist aber, da alle projectiven Transformationen eine Gruppe 

 bilden, einer einzigen projectiven Transformation äquivalent. Das In- 

 tegrationsproblem kommt also darauf hinaus, diese äquivalente Trans- 

 formation nach Ablauf der Zeit 8 zu bestimmen. Wäre die infinite- 

 simale projective Transformation nicht mit der Zeit veränderlich, so 

 würde die fortwährende Ausübung von Uf eine eingliedrige projective 

 Gruppe erzeugen. Wenn aber A, B, C Functionen von s sind, so ist 

 dies nicht mehr der Fall. 



Dennoch können wir einige Sätze, die wir früher abgeleitet haben, 

 hier verwerten: Jede endliche projective Transformation von co^ in a 

 hat, wie wir wissen (vgl. § 2 des 1. Kap.) die Form 



_ ccco^-i- ß 



Mithin hat die allgemeine Lösuijg der Riccati'schen Gleichung (1) 

 die Form: 



und es würde zur vollständigen Integration darauf ankommen, die 

 noch unbekannten Functionen a, ß, y, d von 2 zu bestimmen, deren 

 Determinante ad — ßy sicher nicht identisch Null ist. 



Legen wir nunmehr ^ und o eine andere geometrische Deutung « ^^^ "' 

 unter, z sei Abscisse und cj Ordinate in der Ebene. Jede Particular- i" ^^^ 



Ebene. 



lösung ca = (0(2) der Riccati'schen Differentialgleichung stellt alsdann 

 eine Curve in der Ebene dar. Die Parallelen 2 = Const. werden von 

 allen 00^ Integralcurven in Punktreihen geschnitten. Dadurch wird 

 jedem Punkt (w) auf einer der Parallelen ein bestimmter Punkt {to) 

 auf jeder anderen Parallelen zugeordnet, nämlich der Punkt, in dem 

 die durch ersteren gehende Integralcurve die andere Parallele trifft. 

 Alsdann führt die infinitesimale projective Transformation Uf die 

 Punkte der Ebene in einander derart über, dass die Punkte jeder der 

 Parallelen in die zugeordneten Punkte der benachbarten Parallelen 

 übergehen. Diese Transformation der Punktreihe auf einer Parallelen 

 in die zugeordnete auf der benachbarten ist projectiv, wie aus der 

 Form (2) des Incrementes von a beim Übergang von z zu 3 -\- dz 

 hervorgeht. 



Man sieht dies auch aus der Form (3) der allgemeinen Lösung 

 von (1). Geben wir darin z einen bestimmten Wert, so giebt (3) die 

 Ordinate ra des Punktes der Parallelen {z), der dem Punkte {ca^ auf 

 der Aufangsparallelen, d. h. auf der co-Axe zugeordnet ist. Diese 

 Zuordnung (3) aber ist projectiv. Da bei projectiver Zuordnung das 



