768 Kapitel 24, § 1. 



Doppel Verhältnis von vier Punkten ungeändert bleibt, so folgt also, 

 dass vier beliebige Integralcurven alle Parallelen z = Const in je vier 

 PunJden schneiden, die sämtlich dasselbe Boppelverhältnis besitzen. Oder 



"vorl^ief"^"^^' '^^*^^ ^1' *^^' ^3 7 »4 v^er Farticularlösungen der Riccati' sehen 



^'^^^^^^'^^^- Differentialgleichung (1), so ist ihr Doppelveritältnis 



K «2 053 »4) = 



COg — (»2 0)3 — OO4 



von s unabhängig, also eine Constante. 



ParSar- Angenommen, es sei eine Particularlösung a ^ u von (1) beJcannt. 



bekannt, ^^^daun kennen wir eine Integralcurve C3 = ««(0). Von jenen cx>^ 

 einander projectiv zugeordneten Punktreihen auf den Geraden 5; = Const. 

 wissen wir dann das Eine, dass die Punkte, in denen die bekannte 

 Curve die Parallelen trifft, einander zugeordnet sind. Diese Punkte 

 lassen sich nun sämtlich durch eine geeignete auf jeder der Parallelen 

 projective Coordinatenänderung, bei der z ungeändert bleibt, in das 

 Unendlichferne verlegen, nämlich durch diese: 



(4) 05' =:--::, 



denn für 03 = u giebt sie 0'== 00. Führt man diese neue Veränder- 

 liche (ö' statt 03 ein, ohne s zu ändern, so wird die Zuordnung der 

 Punkte auf den Geraden = Const. nach wie vor projectiv sein, da 

 die Coordinatenänderung (4) auf jeder dieser Geraden projectiv ist. 

 Es wird also an die Stelle von (1) wieder eine Differentialgleichung 

 zwischen ra' und 2 treten, deren Integralcurven die Parallelen = Const. 

 wieder in projectiven Punktreihen schneiden. Aber bei diesen Punkt- 

 reihen wird jetzt das Unendlichferne auf allen Geraden = Const. sich 

 entsprechen. Es liegen also nur noch lineare Transformationen vor. 

 Die Zuordnung der Punkte einer Geraden = Const. zu denen der 

 benachbarten wird also durch eine infinitesimale in a lineare Trans- 

 formation 



vermittelt (vgl. § 1 des 5. Kap.). Durch Einführung von co' geht 

 demnach die Riccati'sche Differentialgleichung (1) in eine von der be- 

 sonderen Form 



(5) ^' = A(.) + K«)c' 



Zurück- „, ^ . , ■T-» /v 



fübriing auf über, also m eme lineare Differentialgleichung, die man bekanntlich 



eine liueare i i . • r\ ■, 



Diffgi. durch zwei successive Quadraturen integriert. 



