Die Riccati'sche Differentialgleichung. 769 



Dies Ergebnis können wir rechnerisch verificieren, denn nach 



(4) ist 



dm 1 /dta du\ 



~dz {(o — u)- \dz dz) 



Nach Voraussetzung soll a ^lie Gleichung (1) erfüllen und insbeson- 

 dere u Particularlösung von (1), also 



sein, sodass kommt: 

 Mithin wird 



CLZ 



^ _ f^ = I?(a, — u) + C{p' — u'). 

 dz dz ^ / I \ y 



dz 

 Da nun 



ist, so erhalten wir schliesslich 



also die erwartete lineare Differentialgleichung zwischen o' und z. 

 Wir formulieren somit den — längst bekannten — 

 Satz 1: Kennt man von einer Biccati' sehen Biffercntialgleicimng 



eine Particularlösung, so findet man die allgemeine Lösung durch swei 



su^cessive Quadraturen. 



Nehmen wir an, es seim zwei Particularlösungm u und v de^ ^J^^^^^^^^. 

 Biccati'schm Gleichung (1) hekannt Alsdann kennen wir von der oben ^'^l^^ 

 besprochenen projectiveu Zuordnung der Punkte der Geraden s = Const. 

 das Eine, dass gewisse Punktepaare auf allen Geraden z == Const. ein- 

 ander entsprechen. Es sind dies die Punktepaare, die von den Inte- 

 gralcurven g) = u{z), g> = v{z) auf den Geraden ausgeschnitten werden. 

 Wir wählen nun auf jeder Geraden s = Const. eine neue Coordinate 

 ö' so, dass (o = oo jedesmal den einen und cj'=0 jedesmal den an- 

 deren dieser beiden Punkte darstellt, und zwar können wir dies be- 

 kanntlich durch, eine auf jeder Geraden projective Coordinatenänderung 

 erreichen (nach § 1 des 5. Kap., S. 125). Auf allen Geraden gleich- 

 zeitig erreichen wir es, wenn wir 



(6) ^-^-^ 



setzen. Denn für ro = w wird (a'== c», für (o = v wird a)'= 0. 

 Durch Einführung dieser neuen Veränderlichen (o geht aus der 

 Riccati'schen Gleichung (1) eine neue Differentialgleichung zwischen 



4.4 



Lie, ContinuierUche Gruppen. »*' 



