770 Kapitel 24, § 1. 



ca und z hervor, deren Integralcurven in der (cö', ^)- Ebene alle Ge- 

 raden z = Const. in projectiven Punktreihen schneiden, bei denen die 

 unendlichfernen Punkte einander sowie die Schnittpunkte mit der Axe 

 ö'= einander entsprechen. Hier tritt also an die Stelle des Sym- 

 bols JJf dieses (vgl. § 1 des 5. Kap.) : ■ 



U'f=k(z)a>'^- 



^ ■' da 



Vermöge (6) geht mithin die Riccati'sche Differentialgleichung in eine 



ftirriin^g ^^'weare homogene 



auf eine d(0 . . . , 



lin. homog. -j— = /.(^Ißj 



Diffgl. dz ^ ^ 



Über, deren Integration bekanntlich nur noch eine Quadratur verlangt. 

 Wir überlassen es dem Leser, durch Einführung von o' vermöge (6) 

 die Gleichung (1) in eine lineare homogene zwischen a' und z um- 

 zuwandeln, und formulieren nur das — längst bekannte — Ergebnis: 

 Satz 2 : Kennt man von einer Biccati' sehen Differentialgleichung 

 zwei Farticularlösungen, so findet man die allgemeine Lösung durch eine 

 Quadratur. 



Particuiar- Sind cndUch drei Farticularlösungen u, v, w von (1) bekannt so 

 bekS kennen wir die Zuordnung gewisser Punktetripel auf den Geraden 

 z = Const. Da eine projective Transformation völlig bestimmt ist, so- 

 bald drei gegebenen Punkten drei andere gegebene Punkte entsprechen 

 (siehe Satz 1, § 1 des 5. Kap.), so ist in diesem Falle die ganze pro- 

 jective Zuordnung bekannt, d. h. alle Integralcurven ergeben sich ohne 

 Quadratur. In der That, wenn a die allgemeine Lösung ist, so ist 

 nach dem Früheren 



CO — u w — u ^ 



'■ = Const. 



und hieraus lässt sich a sofort berechnen. Also gilt der bekannte 



Satz 3: Kennt man von einer Biccati' sehen Differentialgleichung 

 drei Farticularlösungen, so findet man die allgemeine Lösung ohne jede 

 Quadratur. 



Unsere begrifflichen Darlegungen zeigen, dass de'i- innere Grund 

 für die Sätze 1, 2, 3 darin liegt, dass die Riccati'sche Differential- 

 gleichung projective- Zuordnungen zwischen den Punktreihen auf den 

 Geraden z = Const. herstellt. Umgekehrt ist jede Differentialgleichung 



dco , , 



- — = gp(a,, z), 



deren Integralcurven die Geraden z = Const. der (o, ^)- Ebene in 



