Die Riccati'sche Differentialgleichung. 771 



projectiven Punktreihen schneiden, eine Riccati'sche, denn es muss das 



Increment 



dca = (p{c), z)dz 



für a projectiv, d. h. qo 'eine ganze Function zweiten Grades in ö sein, 

 deren Coefficieuten noch s enthalten können. Wir sprechen dies so 

 aus *) : 



Satz 4: Liegt eine continuirlicJie Schar von cx;^ einfach ansgeäehnten^^^^^^^^ 

 Mannigfaltigkeiten vor, deren Elemente projectiv auf einander hezogen'^^'^^^^'^^^^^^ 

 sind, so findet man die c»^ Mannigfaltigkeiten, die von einander zugeord- 

 neten Elementen erzeugt werden, durch Integration einer Riccati' sehen 

 Differentialgleichung. 



1. Beispiel: Je vier Orthogonalcurven der Geraden einer abwickel- i^eis^ieio. 

 baren Fläche schneiden bekanntlich auf allen Geraden Punkte mit 

 demselben Doppelverhältnis aus. Die Orthogonalcurven stellen also 

 projective Beziehungen zwischen den Punkten aller Geraden der Fläche 



her, werden daher durch eine Riccati'sche Differentialgleichung be- 

 stimmt. 



2. Beispiel: Ist auf einer Fläche eine Schar von oo^ geodätischen 

 Linien bekannt, so weiss man, dass je zwei ihrer Orthogonalcurven 

 auf allen cx)^ Linien gleichlange Bogen abschneiden. Bezeichnen wir 

 die Boc'enlänge auf den geodätischen Linien mit oj, so werden durch 

 die Orthogonalcurven solche Zuordnungen der Punkte (co) der geodä- 

 tischen Linien hergestellt, dass sie die Form «'== ra + Const. erhalten. 

 Die oo^ Orthogonalcurven werden daher durch sine Riccati'sche Glei- 

 chung (1) bestimmt, bei der das Symbol Uf die Translation in oj ist, 

 sodass die DifferentialglÄchung die Form hat 



d(o , / N 



Eine Quadratur giebt also die gesuchten Curven**). Ist insbesondere 

 eine Orthogonalcurve schon bekannt, so findet man alle ohne jede 

 Quadratur. 



3. Beispiel: Die c»^ krummen Haupttangentencurven einer Regel- 

 fläche schneiden die Geraden der Fläche bekanntlich in constanten 



*) So viel wir wissen, kommt dieser Satz zuerst bei Bonnet vor, erst 

 später bei Clebsch, Darboux hat zuerst die Idee gehabt, die Betrachtungen 

 auf n Dimensionen auszudehnen; er hat sich aber darauf beschränkt, nur einige 

 darauf bezügliche Sätze abzuleiten. (Siehe Comptes Rendus 1880.) 



**) Von Interesse ist es übrigens, zu bemerken, dass man dieses Ergebniss 

 auch durch eine ganz andere Betrachtung durch Aufsuchung des Integrabilitäts- 



factora bestimmen kann. 



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