772 Kapitel 24, §§ i, 2. 



Doppelverhältnissen. Daher werden sie durch eine Riccati'sche Diffe- 

 rentialgleichung bestimmt*). — Wenn man insbesondere eine Regel- 

 fläche dadurch herstellt, dass man durch die Punkte einer Raumcurve 

 nach irgend einem Gesetze Geraden in den zugehörigen Schmiegungs- 

 ebenen zieht, so besitzt die Regelfläche die Raumcurve zur Haupt- 

 tangentencurve. Daher sind alle Haupttangentencurven nach Satz 1 

 durch zwei successive Quadraturen zu bestimmen. 



§ 2. System von zwei linearen Differentialgleichungen. 



^ClTi^""" Wir wollen nun die Riccati'sche Gleichung (1) auf ein System 

 ^Txff^Ty^^ ^^^^ simultanen linearen homogenen Differentialgleichungen zurück- 

 führen. Zu diesem Zweck führen wir zwei Veränderliche x und y ein, 

 indem wir 



y 



CO = — 



X 



setzen und uns im Übrigen die Verfügung über x und y, die wir wie 

 0) als Functionen von z auffassen, vorbehalten. Es ist 



otZco äy dx 



az dz ^ dz 



also nach (1): 



oder, wenn wir unter l{ß) eine willkürlich gewählte Function von z 

 verstehen: 



^ (sf - ^* - ^2') - S' (ff + (^ - ^)* + Cs') = 0. 



Da nun das Verhältnis von y und x einer Function a{£) gleichgesetzt 

 war, so können wir unter x eine beliebige Function von z verstehen, 

 insbesondere eine, welche die zweite Klammer in der letzten Gleichung 

 zum Verschwinden bringt. Dann muss notwendig die andere Klammer 

 auch Null sein. Es giebt demnach zwei Functionen x und y von z, 



deren Verhältniss -|- die Riccati'sche Differentialgleichung (1) erfüllt, 



und die selbst den beiden Differentialgleichungen genügen: 



dy , 



C) 



*) Zuerst von Bonnet ausgesprochen. 



