System von zwei linearen Differentialgleichungen. 773 



Wenn x und y dieses simultane System erfüllen, so ist £o ^ -£- eme 



Lösung der Riccati'schen Gleichung (1). 



Diese — übrigens längst bekannte — Ersetzung der Riccati'schen 

 Differentialgleichung (1) durch das simultane System (7) kommt im 

 wesentlichen darauf hinaus, dass die eine Veränderliche ca durch zwei 

 homogene Veränderliche x, y ersetzt worden ist. Ist x^, y-^ ein parti- 

 culares Lösungensystem von (7), so ist auch cx^, cy^ ein solches, 

 wenn c irgend eine Constante bedeutet. Sind x^, y-^ und x^, y^ zwei 



Particularsysteme, sodass — und — sich nicht auf dieselbe Constante 

 reducieren, so ist: 



x = c^x^-\-c.^x^, y = c^y^-\-c^y2 



das allgemeine Lösungensystem, denn es enthält zwei wesentliche will- 

 kürliche Constanten 0^,0.^. Alsdann ist 



die allgemeine Lösung der Riccati'schen Gleichung. Sind n^^'n^y^zi ^4. 

 vier Werte der Constanten, zu denen die Lösungen a^, ojg, »3, «4 

 gehören, so ist offenbar: 



also constant, was wir früher anders bewiesen haben. 



Wir wenden uns zur geometrischen Deutung des Systems (7), j};^«,^^^ 

 das wir von jetzt ab so schreiben wollen: d. Systems. 



(8) ff = «^ + ^!/, §!=J'^ + %- 



Hierin bedeuten a, ß, y, 8 gewisse Functionen von z allein. 



Es mögen x, y, 8 gewöhnliche Puuktcoordinaten im Räume sein. 

 Alsdann stellt jedes Lösungensystem 



(9) x = x^{z), y='y,{z) 



von (8) eine Curve in diesem Räume dar. Wir nennen sie eine In- ^"f^^^^- 

 tegralcurve. Deren giebt es insgesammt 00^: 



(10) X = c^x^ + c.,x.„ y = c^y^-\-c^y2' 



Die oo2 Curven werden die Ebene ^ == ;^o in ihren oo^ Punkten, ebenso 

 eine allgemeine Ebene z = Const. in ihren oo^ Punkten schneiden. 

 Sie stellen mithin eine Zuordnung der Punkte dieser beiden Ebenen zu 

 einander her. Um ihren Ausdruck zu finden, wollen wir annehmen, die 

 particularen Lösungen Xy, y^ und x^, y^ nehmen für z = 8q die Werte 



