774 Kapitel 24, § 2. 



a-'i", 2/i" und x.^, y.^ an. Auch soll (x", ^°) der Schnittpunkt der 

 Ebene z = Zq mit der Curve (10) sein. Wenn wir dann aus 

 x^ = c,x,^ + c,x,\ f = c^x,' + C,2/,« 



die Werte von c^ und Cg berechnen und in (10) einsetzen, so erhalten 

 wir X und y offenbar ausgedrückt in der Form: 



x = X{ß)x''-^li{i)y\ y =^ q{2)x^ ^ 6{B)y\ 

 Hiermit ist der dem Punkte {x^, y^) der Ebene z = Zq entsprechende 

 Punkt {x,y) der allgemeinen Ebene (z) bestimmt. Die Zuordnung 

 Li,i.^hom. zwischen den Punkten beider Ebenen ist nach (10) eine lineare homo- 

 gene Transformation. Hieraus folgt: Alle Integralcurven, die von den 

 Punkten einer Geraden der Ebene z = z^ ausgehen, treffen jede Ebene 

 z = Const. in einer Geraden, Diese oo^ Integralcurven erzeugen also 

 ^Tntegrar.®^'^^ i?e(/e?//äcÄe, dcrcn Geraden in den Ebenen z = Const. liegen. Wir 

 curven. neuncn sie eine integrierende Regelfläche. Da ferner bei einer linearen 

 homogenen Transformation in x, y das Wertepaar x = y = invariant 

 bleibt, so ist die ^-Axe selbst Integralcurve. Da endlich bei linearer 

 homogener Transformation das Unendlichferne sich entspricht und 

 da alle Ebenen z = Const. eine unendlichferne Gerade gemein haben 

 so können wir noch sagen: Die unendlichferne Gerade der Ebene 

 z == Const. ist Integralcurve. Sie gehört übrigens allen oo^ oben er- 

 wähnten Regelflächen an, da jede Gerade einer dieser Flächen die 

 unendlichferne Gerade der Ebene z = Const. schneidet. Alle In- 

 tegralcurven, die von den Punkten eines Kegelschnittes der Ebene 

 z = Zq ausgehen, treffen jede Ebene z = Const. in den Punkten eines 

 Kegelschnittes, denn bei jeder projectiven Transformation geht Kegel- 

 schnitt in Kegelschnitt über, u. s. w. 



Angenommen, wir kennten alle erwähnten cx)^ Regelflächen, so 

 sind uns natürlich alle ihre Schnittcurven , d. h. alle Integralcurven 

 bekannt. Dies ist auch dann noch der Fall, wenn wir nur oo^ Regel- 

 flächen kennen, die nicht jede Ebene z = Const. nur in einem Strahlen- 

 büschel schneiden. Denn die oo^ Geraden dieser Regelflächen in der 

 Ebene z = Const. werden sich je oo^ Punkten treffen, die Schnitt- 

 linien der oo2 Regelflächen sind demnach alle cx)^ Integralcurven. 

 Kennen wir oo^ Regelflächen, die jede Ebene z = Const. in einem 

 Strahlenbüschel schneiden, die also nur eine Curve gemein haben, so 

 können wir auch dann noch die in ihnen gelegenen Integralcurven, 

 also alle oo^ Integralcurven, und zwar durch Quadratur, bestimmen. 



Fassen wir nämlich eine dieser Regelflächen ins Auge. Sie wird 

 die Ebene z = z^ in einer Geraden g^, die Ebene ^ = Const. all- 

 gemein in einer Geraden g schneiden. Die oo^ Punkte der Geraden g 



