System von zwei linearen DifiFerentialgleicliungen. 775 



sind denen der Geraden gQ vermöge der in der Fläche verlaufenden 

 Integralcurven projectiv zugeordnet. Mithin bestimmen sich die oo^ 

 Integralcurven in der Fläche durch eine Riccati'sche Gleichung, nach 

 Satz 4 des § 1. Es sind uns aber schon zwei dieser Curven bekannt, 

 nämlich einmal die unendlich ferne Gerade aller Ebenen = Const. 

 und dann die allen 00^ Regelflächen gemeinsame Curve. Nach Satz 2 

 des § 1 finden wir also alle oo^ Curven durch eine Quadratur. 



Wir wollen nun insbesondere die 00 ^ Regelflächen bestimmen, "jj'lfi;;?^;'^ 

 welche die z-Axe enthalten, die ja Integralcurve ist. 



Bekanntlich geht aus dem simultanen System (8) die ursprüng- 

 liche Riccati'sche Gleichung wieder hervor, wenn man die Differential- 

 gleichung für die Function 



y 



durch (1. 

 2-Axo. 



X 



aufstellt. Deuten wir dies geometrisch: In der Ebene 2 = ^o legen 

 wir durch die z-Axe eine Gerade, deren Winkel mit der x-Axe die 

 Tangente co(,s„) habe. Dadurch wird dann auch in jeder Ebene 

 z = Const. die zugeordnete Gerade durch die 2- Axe festgelegt, deren 

 Winkel mit der x-Axe die Tangente ra(^) hat. Alle diese Geraden 

 bilden eine Regelfläche von Integralcurven. © und lassen sich als 

 die Coordinaten dieser Geraden auffassen. 



Die Integration der ursprünglichen Riccati'schen Gleichung kommt 

 also factisch darauf hinaus, alle die ^-Axe enthaltenden von Inte- 

 gralcurven des Systems (8) gebildeten Regelflüchen zu finden. Die 

 vollständige Integration des Systems (8) verlangt alsdann, wie wir 

 bemerkten, noch eine Quadratur (mit einer willkürlichen Constanten 

 im Differential), um die Integralcurven in einer solchen Regelfläche 

 zu bestimmen. Die Riccati'sche Gleichung ersetzt also nicht vollstän- 

 dig das simultane System (8). Wir erkennen dies auch daraus, dass 

 bei seiner Bildung eine ganz willkürlich wählbare Function A(^) auf- 

 trat. Die zum Systeme (8) gehörige Riccati'sche Gleichung ergiebt 



sich übrigens wegen: 



da) xdy — ydx 



HJ °^ x^dz 

 in der Gestalt: 

 (11) ^£ = y^{8-a)co-ßio\ 



Dass die Differentialgleichung für die Regelflächen, welche die 

 ^-Axe enthalten, gerade eine Riccati'sche sein muss, ist auch begriff- 

 lich zu erklären: Fassen wir in allen 00^ Ebenen 0= Const. alle 00^ 

 Strahlenbüschel ins Auge, die von der ;^-Axe ausgehen. Ihre Strahlen 

 sind einander durch das System (8) wegen (10) projectiv zugeordnet. 



