776 Kapitel 24, § 2. 



Zusammengehörige Strahlen bilden eine der fraglichen Regelflächen. 

 Nach Satz 4 des § 1 bestimmen sie sich aus einer Riccati'schen Gleichung. 



K'^J; Betrachten wir jetzt das nicht homogene, aber doch lineare System: 



ni ff Ulli •' 



(12) 



Diffgln. 



I^ = ax + ßy + ^, 



^ = r^ + ^2/ + ^, 



Bestimmung 



in dem a, ß, y, d, Tj, &• gegebene Functionen von bedeuten. Dies 

 System wird durch oo^ Integralcurven im Räume (x, y, z) integrirt. 

 Die Integralcurve, welche die Ebene z^z^im Punkte (a;«, /) schneidet, 

 treffe die allgemeine Ebene ^ = Const. im Punkte lx,y). Dadurch 

 wird eine Zuordnung der Punkte der Ebene b = Const. zu denen der 

 Ebene s = g^ hergestellt. Die Art dieser Zuordnung erkennt man 

 sofort. Die Integralcurve geht nämlich dadurch hervor, dass man 

 beständig auf den Punkt {x, y, z) eine infinitesimale Transformation 

 ausübt, bei der die Coordinaten x^ y die Incremente 



dx = {ax -\- ßy-\- ri)ds, dy = {yx + dy -\- Q)ds 

 erfahren, wenn 2 das Increment ds erhält. Von Ebene zu Ebene 

 werden sich diese Incremente ändern, da z variiert. Aber immer liegt 

 eine infinitesimale lineare Transformation in x, y vor. Wenn man 

 aber unendlich viele infinitesimale Transformationen der linearen Gruppe 

 in X, y ausübt, so ist das Ergebnis einer einzigen Transformation 

 der linearen Gruppe, also wieder einer linearen Transformation in x, y 

 äquivalent. Mithin drücken sich die Coordinaten x, y des Punktes, in 

 dem die durch den Punkt {x', y') der Ebene = ^„ gehende Integral- 

 curve die Ebene (^) schneidet, in der Weise aus: 



x = QX^ ■{- 6y^ + r, y = (px'' + ^y^ + x. 



Dabei aber sind die Coefficienten Q, 0, t, <p, rp, x gewisse uns un- 

 bekannte Functionen von s. 



Man sieht, auch jetzt sind die Beziehungen zwischen den Punkten 

 der Ebenen z == Const. lineare, aber nicht mehr homogene. Es ist 

 also wieder die unendlichferne Gerade der Ebenen ;^ = Const. eine 

 Integralcurve, nicht aber die z-Axe. Wieder erzeugen alle Integral- 

 curven, die von den Punkten einer Geraden in der Ebene s = Zq aus- 

 gehen, eine Begelfläche. Kennen wir oo^ dieser Regelflächen, die sich 

 nicht nur in einer Curve schneiden, so kennen wir alle oo^ Integral- 

 curven als ihre Schnittlinien. 



^"reBden"°" ^^^ ^^^^^^® Rcgelfläche können wir uns in der Form geschrieben 



Kegelfläch, denken 



