System von zwei linearen Differentialgleichungen. 777 



(13) y = kx-^v, 



in der A und v noch unbekannte Functionen von z sind. Es folgt 

 hieraus durch Differentiation nach s: 



dy . dx dX dv ^ 



dz dz dz dz 



Tragen" wir hier die Werte (12) ein, so erhalten wir: 



yx-\-dy^Q'- l{ax + ^^ + ^) — ^ |j — |j = 0. 



(13) ist eine von Integralcurven gebildete Regelfiäche, sobald die letzte 

 Gleichung vermöge (13) identisch besteht, d. h. sobald 



ist. Dies aber sind für A, v die beiden Differentialgleichungen; 

 (14) 



^J_y + (^_e,)A-/3A^ 



■9"^ — flX -{- 8v — ßXv . 



\ dz 



Hat man dies simultane System integriert, so sind auch unsere Regel- 

 flächen (13) und damit auch alle Integralcurven von (12) gefunden. 

 Insbesondere ist nun die erste Gleichung (14) eine Riccati'sche in 

 A und 0y. Ist sie integriert, so setzen wir den Wert von A in die 

 zweite Gleichung (14) ein und erhalten dadurch eine lineare Gleichung 

 in V und z, deren Integration zwei successive Quadraturen erfordert. 

 Die Integration des simultanen linearen Systems (12) ist also auf die 

 Integration einer Biccati'schen Gleichung und zwei successive Quadraturen 

 zurückzuführen. 



Die soeben benutzte Reduction rührt von d'Alembert her. Ihr »«duction 

 innerer Grund ist dieser. Die unendlich ferne Gerade der Ebenen d'Aiombert. 

 == Const. ist gemeinsame Integralcurve. Da in jeder Ebene die 

 unendlichfernen Punkte als die Richtungen der Geraden 



y == Xx -\- V 



charakterisiert werden können, diese aber durch A bestimmt werden, 

 so folgt: Die <x>^ Richtungen A in jeder Ebene z = Const. sind auf 

 die in der Ebene z = Zq projectiv bezogen. Man findet demnach nach 

 Satz 4 des § 1 alle einander zugeordneten durch Integration einer 

 Riccati'schen Gleichung. Es ist das die erste Gleichung (14). 



