778 Kapitel 24, § 3. 



§ 3. VerallgemeineruDg der Riccati'schen Differentialgleichung, 

 System von drei linearen homogenen Differentialgleichungen. 



Es liegt eine weitere Verallgemeinerung des Systems (12) äusserst 

 nahe. Anstatt nämlich wie dort den Grössen dx, dy die Form der 

 Incremente Yon x, y bei einer infinitesimalen linearen Transformation 

 zu geben, erteilen wir ihnen die Form der Incremente bei einer in- 

 finitesimalen projectiven Transformation überhaupt. Wir betrachten 

 also das simultane System: 



(15) 



-£ = A + Cx -[- Dy -{- Hx" -\- Kxy, 



dy 

 dz 



= B -i- Ex + Gy -\- Hxy + Ky^ 



m dem A, B, C, D, E, G, H, K gegebene Functionen von z dar- 

 stellen sollen. 



iTiccatt Wii* nennen jedes derartige System eine Verallgemeinerung der 



sehen ^^m-Biccati' sehen Differentialgleichung. 



Zunächst wollen wir einmal wieder 2 als Zeit, x,y als Punktcoor- 



dinaten in der Ebene deuten. Alsdann stellen die Gleichungen (15) 



eine infinitesimale projective Transformation 



Uf= {A-\-Cx-\-Dy-\- Hx' + Kxy) |^ + 

 + {B + Ex-\-Gy + Hxy + Ky') ^ 



dar, die vom Moment g an im nächsten Zeitelement dg auf die Punkte 

 der {x,y) -Ebene ausgeführt wird. Ein Punkt, der zu einem bestimm- 

 ten Anfaugsaugenblick g = Zq etwa die Lage (Xq, y^) hat, wird durch 

 die continuierliche Ausführung solcher mit der Zeit g veränderlicher 

 infinitesimaler projectiver Transformationen Uf im Verlaufe der Zeit 

 g in eine Lage {x, y) gebracht. Die Gleichungen (15) integrieren, 

 heisst, diese Lage (x, y) durch Xq, y^ und g ausdrücken. Da die Auf- 

 einanderfolge einer Reihe von projectiven Transformationen einer eben- 

 falls projectiven Transformation äquivalent ist, so folgt, dass sich x, y 

 linear gebrochen durch x^, y^ ausdrücken werden. Das allgemeine 

 Lösungensystem von (15) hat somit die Form: 



in der die A, B, C noch unbekannte Functionen von g sind. Xq, y^ 

 spielen die Rolle der Integrationsconstanten. 



