Verallgemeinerung d. Biccati'ßchen Diffgl., System v. drei lin. hom. Diffgln. 779 



Deuten wir nunmehr x, y, z als gewöhnliche Punktcoordinaten 

 im Räume, so stellen diese Gleichungen, wenn man x^, y^ in ihnen 

 bestimmt wählt, sodass sie ein particulares Lösungensystem repräsen- 

 tieren, eine Curve im Räume, eine Integralcurve dar, die vom Punkte i"tograi- 

 C^o' Vq) der Ebene z -= z^ ausgeht, Alle oo^ Integralcurven schneiden 

 die Ebenen z = Const. in allen ihren Punkten und stellen also Zuord- 

 nungen zwischen den Punkten dieser Ebenen her. Die Form der 

 letzten Gleichungen zeigt, dass diese Zuordnungen projediv sind. 



Auch jetzt bilden, da hiernach jeder Geraden der Ebene z = z^ 

 eine Gerade jeder der Ebenen ;S = Const. entspricht, alle Integral- 

 curven, die von den Punkten einer Geraden der Ebene z = z^y aus- 

 gehen, eine integrierende Bcgelfläche, die jede Ebene z = Const. in einer integric- 

 Geraden schneidet. Es wird aber jetzt — sobald in (15) die Functionen J^-'geiflä'cbe. 

 H und K nicht beide identisch verschwinden — die unendlichferne Gerade 

 der Ebenen z = Const. nicht mehr als Integralcurve aufzufassen sein, 

 denn bei einer allgemeinen projectiven Transformation entspricht die 

 unendlichferne Gerade nicht sich selbst. 



Wenn eine integrierende BcgelÜäche von vornherein bekannt iä^"'^ ^''««i- 



, ,. ' fläche sei 



etwa diese: bekauut. 



y^Xx-\-v, 



bei der A, v bekannte Functionen von z sind, so können wir das 

 jetzige System (15) auf ein lineares zurückführen. Alsdann nämlich 

 sind die Geraden 



y — Ix — V == 



der Ebenen z = Const. einander vermöge der infinitesimalen projec- 

 tiven Transformationen Uf zugeordnet. Durch geeignete projective 

 Coordinatenänderung in jeder der Ebenen können wir diese Gerade 

 ins Unendlichferne verlegen. Eine solche Coordinatenänderung ist diese: 



X = 1 — , II = 



y — Xx — v' ^ y — Xx 



Führen wir also statt x, y diese Veränderlichen x, y in das System 

 (15) ein, so muss bei dem hervorgehenden System die Zuordnung 

 der Punkte der Ebenen z = Const. überall hnear sein, indem die 

 Regelfläche 



y = Xx -{- V 



nunmehr ins Unendlichferne x = oo, y'= cx) versetzt worden ist. 

 Dann aber liegt wieder der zuletzt in § 2 besprochene Fall vor: Uf 

 wird linear, und das System in x, y\ z ist linear. Wir überlassen es 

 dem Leser, dies zu verificieren. Man hat .dabei zu beachten, dass 



