780 Kapitel 24, § 3. 



y = Xx •}- V eine integrierende Regelfläche von (15) sein soll, also 

 vorauszusetzen ist, dass die Gleichung 



B + Ex + Gy-j- Hxy -\-Ky^ = X{A -\-Cx + Dy -\- Ex'' + Kxy) + 



+ K'x -f- V 



vermöge y == kx "{- v identisch bestehe für alle Werte von z und x. 



Das System (15), die Verallgemeinerung der Riccati'schen Difie- 

 ▼0^*1™! rentialgleichung, wollen wir nun auf ein System von drei linearen liomo- 



liu. hol 



Diffgli 



^'"iff"""' 9^''^^'^ Differentialgleichungen durch ein Verfahren zurückführen, das 



analog der Reductionsmethode der Riccati'schen Differentialgleichung 

 auf zwei simultane lineare homogene Differentialgleichungen ist. Wir 

 führen nämlich statt x, y drei homogene Veränderliche x^, x^, x.^ ein, 

 deren Verhältnisse 



seien. Dann ist: 



— = Xf — =y 



dXi dx^ 2 ^^ 



dx<i dXa 9 dy 



^3 d8 ^2 az ~ ^3 d2 



Setzen wir hierin die Werte (15) ein, so kommt: 



^3 '^ "^i 'dz' ""^ -^^3 ~r ^x^x^ -\- Dx.^x.^ -f- HXi -\- Kx^x^, 

 ^3 ^ "~ ^2 -^ = ^^z + Ex^x^ -\- Gx^x^ + Ex^Xc^ + Kx^^. 



Da wir bisher nur über die Verhältnisse von x^, x^y x^ verfügt haben, 

 so können wir unter Einführung einer beliebigen Function X{ß) fest- 

 setzen, dass 



dz 



sein soll. Dann wird 



äx^ 

 dz 

 und 



^"'' = Ax^ + (C — K)x^ + Dx^ 



— " A w(/o '*^~ XZ tJO-i '^^ J\. tX/o 



^ = Bxs + Ex, + (G - k)x,. 



dz 



Wir erhalten also dann ein System von drei linearen homogenen Diffe- 

 rentialgleichungen von der, allgemeinen Form: 



