l Verallgemeinerung d, Riccati'schen DifFgl., System v. drei lin. hom. DifFgln. 781 



(16) 



2 I I 



^ = «21^1 + <^22^2 + ^23^3) 



dXg _L _L. 



, ~^ '^^Sl ^1 "T ^32 ^2 ~r ^^33 ^3 • 



Ist das System integrabel, so gilt dasselbe vom System (15), aber 

 nicht umgekehrt, denn ist (15) integriert, so kennt man nur die Ver- 



• cc sc 



hältnisse -^ und — als Functionen von z. kennt also 



bis auf die noch unbekannte Function q von z. Um diese zu bestim- 

 men, setzen wir diese Werte in eine der Gleichungen (16) ein. Dies 

 liefert für q eine lineare homogene Differentialgleichung, aus der sich 

 also Q durch eine Quadratur bestimmt. 



Wir wollen uns nun weiterhin mit dem homogenen System (16) 

 und seiner Integration beschäftigen. 



Soeben hatten wir x^, ajg, x^ als homogene Coordinaten in der 

 Ebene z = Const. vermöge 



eingeführt. Also das dem homogenen Coordinatensystem zu Grunde 

 liegende Dreieck hatten wir in specieller Weise gewählt. Nichts aber 

 hindert uns nun, wo wir zu dem System (15) doch nicht zurückkehren 

 wollen, bei dem vorgelegten System (16) iCj, iCg, x^ als irgendwelche 

 homogene Coordinaten in den Ebenen z = Const. zu betrachten, also 

 das Coordinateadreieck in jeder Ebene beliebig zu wählen. Wir wer- 

 den später durch passende Wahl der Coordinatendreiecke öfters Ver- 

 einfachungen erzielen. 



Ist x-[^ x^, x^ ein particulares Lösungensystem von (16), so 

 ist auch 



r r t 



/y* —^~ P T ff* =^ P V ^ ?^== /• 'y* 



*^\ ^~~^ ^1 *^1 f *^o ~— ~— t-*! .^o j »X/o ' i/1 U/o 



ein solches, wenn q eine beliebige Constante bedeutet. Sind 



^ Xi — Xi , Xi — Xi , Xi Xi yl — 1 j ^ , Oj 



drei particulare Lösungensysteme, doch so, dass zwischen ihnen keine 

 Gleichungen 



aXi-\- hx^'-\- cx^"= 0, 



I ax^-\-hx2'-\- CX2"=^0, 



ax^'-\- ix^'-\- cx^"= 

 mit Constanten Coefficienten a, 1), c bestehen, so ist: 



