782 Kapitel 24, § 3. 



Aiig. Lö- (17) Xi = c.Xi'-{- Cox"-]- c^x'i" {i=.\ 2, 3) 



sungensyst. ^ ^ x i ^ i a \ 77/ 



''""artio'^''' ^^^ aZZö'ememsfe Lösungensystem, ausgedrückt durch drei beliebige par- 

 ausgedr. Uculare. 



Wenn wir wieder wie früher als Integrationsconstanten die An- 

 fangswerte Xj^, x^j x^ von x^, x^, x^ in der Ebene 2 = z^ wählen, so 

 haben wir aus den Gleichungen (17) nach der Substitution z = z^ die 

 Constanten Cj, Cg; ^3 ^u berechnen und dann in (17) einzusetzeo. Da- 

 durch ergeben sich die Integralgleichungen in der vorauszusehenden 

 Form einer linearen homogenen Transformation: 



Xi = Ux{z)x^■\^U{z)x^^-^f,^{z)x^'^ (i=l, 2, 3). 



Es ist zu beachten, dass sich die BegriJBfe Tntegralcurve und par- 

 ticulares Lösungensystem jetzt nicht mehr decken, weil für die Integral- 

 curve nur die Verhältnisse von rCi, x^j x^ in betracht kommen. Die 

 Gleichungen 



x^ = l^{z), x., = l^{z), x^^X^{£) 



stellen eine Integralcurve dar, sobald die aus ihnen sich ergebenden 



Werte der Verhältnisse von 'T^) ~j^i -j^ den durch (16) bestimmten 



Werten dieser Yerhältuisse gleichkommen. Es existiert alsdann ein 

 gewisses particulares Lösungensystem 



Die unbekannte Function (»von z bestimmt sich aus einer der Glei- 

 chungen (16) durch eine Quadratur. 



Obgleich unsere geometrische Interpretation hiernach keine voll- 

 kommen bestimmte ist, so wird uns gerade diese Vieldeutigkeit später- 

 hin von Vorteil werden. 



Inte Tal Angenommen, eine Integralcurve 



curve sei i / \ / \ 



bekannt. X^= K{Z)X^, X2= ^{Z)X^ 



sei bekannt. Sie trifft die Ebenen z = Const. in zugeordneten Punkten. 

 Diese Punkte sind die Mittelpunkte von Strahlenbüscheln in den Ebenen 

 z == Const., und die Büschel sind einander projectiv zugeordnet. Hier- 

 aus folgt nach Satz 4 des § 1, dass sich die Regelflächen, welche die 

 gegebene Integralcurve enthalten, aus einer Riccati'schen Gleichung 

 oder — bei homogenen Coordinaten — aus einem System von zwei 

 linearen homogenen Differentialgleichungen bestimmen lassen. 



In der That kann man dies auch rechnerisch einsehen: Wir wählen 

 in der allgemeinen Ebene z = Const. ein neues Coordinatensystem 



