Verallgemeinerung d. Riccati'schen Diffgl., System v. drei lin. hom. Diffgln. 783 



(^1 : 2/2 : ^3) so, dass die Ecke y^ = y^=Q auf der gegebenen Integral- 

 curve hegt. Die dazu nötigen Formeln haben allgemein die Gestalt: 

 (18) y„ = rp.^xi + ^i2^2 + ^^32:3 (l = 1^ 2, 3), 



in der die t,j Functionen von 2 bedeuten. Insbesondere sollen nach 

 unserer Voraussetzung y, und y, für x, = ^x„ x, = ^x. Null sein 

 Wir wählen daher die ^ so als Functionen von 2, dass erstens natür- 

 lich ihre Determinante 



ist und dass zweitens 



^tn + ^^12 + ^13 = 0, 



^^21 +^t^,2 + ^23 = 



wird. Führen wir die neuen Coordinaten (18) in das System (16) ein, 

 so nimmt es zunächst die allgemeine Form an: 



-^ =ßnyi + ßi2y2-\- ß^y^, 



(19) 



~ji = ßuyi + ßz2y2 + ßz^y^- 



Aber jetzt ist y^ = y^ = eine Integralcurve, d. h. es ist ß^.^ — ß^^EEO 

 sodass das transformierte System die Form hat: 



-dj = Pii2/i + ßi2y2, 

 ~äf = ßiiyi + ß22y2, 



^ = Äl!/l + ^322/2 +^33^3. 



Die beiden ersten Gleichungen bilden ein System für sich. Sie be- 

 stimmen die durch die bekannte Integralcurve gehenden integrieren- 

 den Regelflächen und werden durch eine Riccati'sche Gleichung und eine 

 Quadratur erledigt, während die letzte Gleichung noch zwei Quadra- 

 turen verlangt. 



Sind zwei Integrdlcurvm bekannt: zwei 



Integral- 



x,=k(z)x„ x, = ti{z)x,; -XnT 



X, = 6{z)x^, x^ = r(^)ar3, 

 so sind wieder die Strahlenbüschel in den Ebenen z = Const., deren 

 Mittelpunkte auf einer der beiden Curven liegen, einander projectiv 

 zugeordnet, sodass sich die integrierenden Regelflächen durch eine der 

 Curven nach Satz 4 aus einer Riccati'schen Gleichung bestimmen. 

 Hier ist uns aber eine dieser integrierenden Regelflächen schon bekannt, 



