Verallgemeinerung d. Riccati'sclien Diffgl., System v. drei lin. hom. DifFgln. 785 



die Bestimmung der durch die erste der drei Curven gehenden inte- 

 grierenden Regelflächen nur eine Quadratur, ebenso die der durch die 

 zweite gehenden Regelflächen, denn jedesmal sind uns zwei der Regel- 

 flächen schon bekannt Die Schnittcurven der Regelflächen sind die 

 Integralcurven. Die Lösungen des Systems ergeben sich also durch 

 noch eine dritte Quadratur. 



Es möge eine integrierende Regelfläche ^rJmche 



(20) . X, = X{,)x, + ti{0)x, "^''^^''^- 



belcannt sein. Sie schneidet die Ebenen 2 = Const. in Geraden, deren 

 Punkte einander projectiv zugeordnet sind vermöge der in der be- 

 kannten Regelfläche gelegenen Integralcurven, Diese 00^ Integral- 

 curven findet man mithin nach Satz 4 des § 1 aus einer Riccati'schen 

 Gleichung oder einem System von zwei linearen homogenen Differen- 

 tialgleichungen. Dies verificiert man sofort, wenn man (20) in die 

 beiden ersten Gleichungen (16) einsetzt. Sind die in der gegebenen 

 Regelfläche verlaufenden Integralcurven gefunden, so greifen wir zwei 

 unter ihnen heraus und machen sie zu den Curven 1)1= y<i = 0, 

 ?/i = 2/3 = im neuen Coordinatensystem. Dadurch kommen wir auf 

 das vorletzte Problem zurück, dessen Erledigung noch fünf Quadra- 

 turen erforderte. 



Sind zwei integrierende Regel flächen bekannt: zweüntogr 



^3 ^^ A[ß)X^ -f- ^(2)X.2, bekannt. 



Xs = 6{2)x^-\-r{z)x^, 



SO kennt man von den in jeder derselben verlaufenden Integralcurven, 

 deren Bestimmung zunächst auf die Integration Riccati'scher Glei- 

 chungen zurückkäme, je eine, nämlich die Schnittlinie beider Flächen. 

 Nach Satz 1 erhalten wir durch je zwei successive Quadraturen alle 

 in den beiden Fällen verlaufenden Integralcurven. Damit sind dann 

 offenbar alle integrierenden Regelflächen bekannt, also überhaupt alle 

 Integralcurven, sodass die vollständige Integration des Systems (16) 

 noch eine fünfte Quadratur verlangt. 



Sind drei integrierende Regelflüchen bekannt, die nicht sämtlich ^^^^ '"^«r. 

 durch dieselbe Curve gehen, so kennen wir auch drei Integralcurven, ' ^^^^^^^'^^ 

 die nicht sämtlich in derselben Regelfläche liegen. Die Integration 

 erfordert also nach dem Früheren drei von einander unabhängige 

 Quadraturen. 



Die drei soeben betrachteten Fälle stehen den vorher untersuchten 

 insofern diuilistisch gegenüber, als an Stelle der Punkte in den Ebenen 

 z = Const. hier die Geraden in den Ebenen treten. Integralcurve und 



Lie, Coutiuuierliche Gruppen. 50 



