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 Inte 

 curve seien 

 bekannt. 



786 Kapitel 24, § 3. 



integrierende Regelfläche sind in diesem Sinne zu einander dualistisch. 

 In der That kann man dieser Auffassung dadurch einen Ausdruck 

 geben, dass man in den Ebenen z = Const. homogene Liniencoordina- 

 ten Ulf Wg? % einführt, indem man die Invarianz von: 



verlangt. Man gelangt alsdann, indem man nach den integrierenden 

 Regelflächen fragt, zu einem System von drei linearen homogenen 

 Differentialgleichungen in m^, u^, Wg. Wir wollen es aber bei dieser 

 Andeutung bewenden lassen. 



Kegeitt*che S^cnut man eine integrierende Bcgelfläche und eine nicht in ihr ge- 

 teg'i^ri- %^^6 Integralcurve, so führt man neue homogene Coordinaten yuy^jVz 

 in den Ebenen z = Const. vermöge (18) derart ein, dass die eine Ecke 

 y2 = ys = ^ auf der bekannten Integralcurve und die Seite «/i = 

 des Coordinatendreiecks eine Gerade der bekannten Regelfläche wird. 

 Alsdann nimmt das System (16) eine neue Form (19) an, in der 

 offenbar, da «/g == «/g == Integralcurve ist, ß^^ ^ ß^^^O und, da 

 yi = integrierende Regelfläche ist, ß^^ ^ ß^^^O wird. Somit hat 

 es die Form: 



^ = 3 u 

 dz ^11^1' 



-äf = /^222/2 + ßisVä} 



^ = ßä^y^ + ^33%- 



Die erste Gleichung integriert sich durch eine Quadratur, Die beiden 

 letzten werden durch eine Riccati'sche Gleichung und eine Quadratur 

 erledigt. 



Bisher haben wir nur solche von Integralcurven erzeugte Flächen 

 betrachtet, welche eine Ebene z = Const. und mithin alle Ebenen 

 Inte- ^ = Const. in Geraden schneiden. Wir wollen allgemein eine von 

 Fläche. Integralcurven erzeugte Fläche eine integrierende Fläche nennen. 

 ^mL^^tS' Nehmen wir an, es sei uns eine integrierende Fläche bekannt, 

 bekannt.- wclchc die Ebene = 0q in einer Curve Cq schneidet, die keine infini- 

 tesimale projective Transformation in sich gestattet, die also keine 

 selbstprojective Curve ist (vgl. § 4 des 3. Kap.), Alsdann schneiden 

 die Ebenen = Const. die Fläche in bekannten Curven c, die eben- 

 falls nicht selbstprojectiv sind, da sie aus der Curve c^ durch pro- 

 jective Transformation oder durch in x^, x^, x^ lineare homogene 

 Transformation hervorgehen. Es giebt nun keine continuierliche Schar 



