Verallgemeinerung d. ßiccati'schen DifiFgl., System v. drei lin. hom. Diffgln. 787 



von projectiven Transformatfonen T^, T^, T^ . . ., die c^ in eine Curve 

 c überführen, denn sonst würde Cq bei T-^T^, T-^T^... invariant 

 sein, mithin eine infinitesimale projective Transformation gestatten. 

 Die demnach nur in discreter Anzahl vorhandenen projectiven Trans- 

 formationen, die Cq in c überführen, kann man direct bestimmen. Es 

 ist dies nur ein Eliminationsverfahren. Diese Transformationen ent- 

 halten in ihren Coefficienten im allgemeinen z als Constante. Eine 

 der Transformationen muss nun genau mit der übereinstimmen, die 

 der durch das System (16) zwischen der Ebene {z^) und der Ebene 

 {z) hergestellten entspricht. Da die Auswahl nur unter einer discreten 

 Anzahl stattfindet, kann man sie in jedem Falle durch Verification 

 finden. Alsdann ist die durch die Integralcurven zwischen den Ebenen 

 z = Const. vermittelte projective Beziehung bekannt. Daher lassen ^ i"'''«'- 



" ^ durcli aus- 



Stell auch die Integralcurven ohne Quadratur durch ausführbare Opera- fü'"-''^'« 

 tionen finden. tiouon. 



Man kann dies auch so entwickeln: 



Dass die Curven c durch projective Transformation — also durch 

 in x^, X2, x^ lineare homogene Transformation — aus c^ ableitbar 

 sind, kann folgendermassen ausgesprochen werden: Es lassen sich in 

 allen Ebenen ^f = Const. solche neue homogene Coordinaten y-i, y^, Vi 

 einführen, dass die Curven c sämtlich dieselbe Gleichung wie c^ be- 

 sitzen. Dies gilt übrigens auch dann, wenn die Curve c^ selbst- 

 projectiv ist, eine Annahme, zu der wir nachher übergehen. 



Wir können also das Gleichungensystem (18) zur Einführung 

 neuer Coordinaten y^, y^^ y^ so wählen, dass die Curven c in allen 

 Ebenen z = Const. dieselbe — mithin von z freie — Gleichung er- 

 halten : 



«0(2/1, 2/2, 2/3) = 0. 



Das System (16) geht somit bei Einführung von ^j, «/.^, y^ in ein 

 System (19) über, das die integrierende Fläche to = besitzt. Es 

 ist daher 



dz 

 vermöge (19) und a> = 0, oder also es ist: 

 s 



2 {ßkiyi + ßk^y-i + /3x-32/3) gy = 

 1 * 



vermöge o = 0. Dies lässt sich auch so aussprechen: Die Curve c 

 oder = gestattet die infinitesimale projective Transformation 



60* 



