788 Kapitel 24, § 3. 



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(21) ^ {ßkiyi + ßkiy%-\- ßk^ys)qk, 



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df 



wenn 



^ mit qji bezeichnet wird. Dies widerspricht der Voraus- 

 setzung, solange nicht alle ß^j ^ sind. Das neue System (19) hat 

 also die einfache Gestalt: 



dz 'dz ' dz 



und ist sofort integriert. Wir finden also nicht nur die Integral- 



curven, sondern auch die Lösungen des Systems ohne jede Quadratur 

 durch ausführbare Operationen. 



Dio Aus- 

 iiahmefällo. 



Betrachten wir nunmehr die Annahme, dass die Curven Cq, c, in 

 denen die bekannte integrierende Fläche die Ebenen = Const. trifft, 

 selbstprojectiv sind. Nach Theorem 7, § 4 des 3. Kap., lassen sie sich 

 auf typische Formen zurückführen. Wir wollen die einzelnen Fälle 

 besprechen : 



'^einoinf'^ Gcstattct Cq uur eine infinitesimale projective Transformation, so 



proj. Trf. ifann sie auf eine der beiden Formen 



y — e^ = 0, y — X" = 



in nicht homogenen Coordinaten x, y gebracht werden. Also folgt, 



wenn wir diese Gleichungen homogen schreiben: In dem vorliegenden 



Falle dürfen wir annehmen, das System (16) sei schon auf eine solche 



Form (19) gebracht, dass es die integrierende Fläche 



y± 



<o = y2 — y^e^' = 

 oder: 



» = yr''y2ys"~'- — 1 = 



besitzt. Die frühere Überlegung zeigt wieder, dass alsdann die Curve 



oj = die infinitesimale projective Transformation (21) gestatten muss. 



Da sie nur eine gestattet, ist diese leicht aufzustellen. Wir haben 



dies in nicht-homogenen Coordinaten in § 4 des 3. Kap., S. 81, ge- 



• than. Danach gestattet 



y — (f ==0 

 diese : 



p + yq-, 



also gestattet 



<» ^ 2/2 — y^e^'. = 

 als allgemeinste infinitesimale lineare homogene in y^, y^, y^ diese: 



