790 Kapitel 24, §§ 3, 4. 



ist mithin nach Satz 1 des § 1 durch zwei Quadraturen integrierbar. 

 Hat man dadurch alle Integralcurven auf der Fläche gefunden, so be- 

 stimmen je zwei derselben eine integrierende Regelfläche. Die Schnitte 

 dieser Regelflächen sind alle oo''' Integralcurven. 



meÄerlT^nf. Wcun dic Curve Co mehr als eine infinitesimale projective Trans- 

 proj. Trf. formation in sich gestattet, so ist sie nach Theorem 7 eine Gerade 

 oder ein Kegelschnitt. Auch dann bestimmen sich die auf der be- 

 kannten integrierenden Fläche gelegenen Integralcurven aus einer 

 Riccati'schen Gleichung. Wir kennen aber von vornherein keine ein- 

 zelne Integralcurve auf der Fläche, da die Geraden und Kegelschnitte 

 keine singulären Punkte haben, d. h. keine Punkte, die bei allen in- 

 finitesimalen projectiven Transformationen der Geraden oder Kegel- 

 schnitte in sich in Ruhe bleiben. Ist Cq eine Gerade, so ist die 

 bekannte Fläche eine Regelfläche. Diesen Fall haben wir schon be- 

 sprochen. 



Es erübrigt also nur noch der Fall, dass die gegebene integrierende 



"' schldtr^'l^'*''^*^^^ ^^^ Ebenen s = Const. in Kegelschnitten schneidet. Wir können 

 die Kegelschnitte c sämtlich durch Einführung passender homogener 

 Coordinaten y^, ^^, y^ iu den Ebenen 8 == Const. auf die Form 



(o = y^^ — 2y^y.^ = 



bringen. Es soll o) = eine integrierende Fläche vorstellen, d. h. es 

 muss — = sein vermöge » = und vermöge des Systems (19). 

 Dies ergiebt ohne Mühe, dass das System (19) die Form annimmt: 



' ^ = (P + <s)y, -f ß,.,y^ + ß^,y„ 



(22) 



. dz 



= ßi2y^. + 2ö2/s. 



Wir wissen, dass die Punkte der Kegelschnitte projectiv auf einander 

 ^ vermöge der Integralcurven bezogen sind und diese Integralcurven sich 

 daher aus einer Riccati'schen Gleichung bestimmen. Um die Gleichung 

 zu erhalten, führen wir eine Grösse u als Coordinate der Punkte der 

 Kegelschnitte 



Vx^ — ^y2yz = 



ein, indem wir setzen: 

 sodass auch 



