bei bek. 

 integr. 

 Fläche. 



Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen, 791 



Vi = 2m2/3 

 ist. Nach (22) wird nun aus 



dz ~^ dz ^y^ dz' 



wenn y^ = ny^ und i/j = 2iiy^ eingesetzt wird, worauf sich y^ forthebt, 

 die Ditferentialgleichung für ti: j 



ßvö = ((?—())« + /5i2w' + I ^13 + ^ • 



Es ist dies in der That eine Riccati'sche Differentialgleichung für u. 



Also hat sich ergeben: ^gebnii 



Satz 5: Wenn von dem simultanen System 



dz 



(A- = l,2, 3) 

 eine integrierende Fläche 



heJcannt ist, so erfordert die Integration nur Quadraturen in allen Fällen 

 mit Ausnahme der beiden, in denen die integrierende Fläche die Ebenen 

 z = Const. in KegelschniUen oder Geraden schneidet. In diesen beiden 

 Fällm kommt die Integration auf die einer Iliccati scheu Gleichung und 

 auf Quadraturen mirücli. 



Wir könnten noch eine Reihe ähnlicher Probleme erledigen, indem 

 wir z. B. annehmen, dass ausser einer integrierenden Fläche eine In- 

 tegralcurve bekannt sei, oder drgl. Aber wir verzichten darauf, weil 

 die Betrachtungen keine neue Schwierigkeit darbieten. 



Als Grundlage diente uns bei den durchgeführten Integratioiis- 

 vereinfachungen stets der Umstand, dass die Ebenen s = Const. durch 

 die Integralcurven projectiv auf einander bezogen waren, dass also mit 

 dem System die allgemeine projective Gruppe der Ebene in enger Be- 

 ziehung stand. 



§ 4. Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamental- 



lösungen. 



Zunächst wollen wir hervorheben, dass sich die im vorigen Para- 

 graphen entwickelte Methode auf eine allgemeine Kategorie von Systemen 

 von Differentialgleichungen ohne Mühe ausdehnen lässt. 



Liegt das System von n simultanen Differentialgleichungen WSgln" 



(23) -^ = rii{x, ..Xn,z) {i = \,2..n) 



