792 Kapitel 24, § 4. 



in x^ . .Xny 2 vor, so können wir z als die Zeit, x^^..Xn als Punkt- 

 coordinaten in einem Räume von n Dimensionen deuten. Alsdann 

 wird der Punkt {x, . . x„) vom Moment ß an im nächsten Zeitelement 

 infinitesimal transformiert, indem Xi..x„ die Incremente erfahren: 



dXi = rji(x^ . . Xn, z)d8 («■ = 1, 2 ..n). 

 Diese infinitesimale Transformation hat das Symbol: 



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cf 

 ex. 



und enthält 2 als willkürlichen Parameter, stellt also unendlich viele 

 infinitesimale Transformationen in x^. . Xn dar. 



Im vorigen Paragraphen lag nun der Fall vor, dass diese unend- 

 lich vielen infinitesimalen Transformationen Yf einer Gruppe, und zwar 

 der linearen homogenen Gruppe in x^.. Xn angehören. Wir deuten 

 später in einigen Beispielen an, dass sich die Betrachtungsweise des 

 ""Äei" vorigen Paragraphen auf alle Systeme (23) ausdehnen lässt, hei denen 

 gratioi".s- die Yf sämtlich, d. li. hei heliehifjer Wahl des Parameters z, einer end- 

 mctiiodcn. i^^j^^ continuierlichen Gruppe in x^ . . x,, angehören. 



Diese Kategorie von Systemen (23) besitzt noch eine merkwürdige 

 Eigenschaft: Beim System von drei in x„ x.,, x^ linearen homogenen 

 Differentialgleichungen sahen wir, dass sich das allgemeinste Lösungen- 

 system ix) durch drei beliebig gewählte particulare Lösungensysteme 

 {x), {x'), {x") in der Form 



Xi = c^xl-\- c^Xi"-\- c^xr (i = 1, 2, 3) 



mit willkürlichen Constanten c„ c„ c, ausdrückt. Etwas Analoges 

 gilt von der soeben definierten Kategorie von Systemen (23). Auch 

 bei diesen lässt sich das allgemeine Lösungensystem (x) aus einer 

 Anzahl particularer Lösungensysteme (aj^D) . . (x^'")) mit willkürlichen 

 Constanten a^..an herstellen: 



Xi = (pi(x,W . . a^„(i), . . , a;/") . . xj"'^ a, . . a„) 

 (i = l, 2 ..n). 



Um dies zu zeigen, sowie um ferner zu zeigen, dass die obige Kate- 

 gorie von Systemen die allgemeinste ist, bei der eine solche Dar- 

 stellung des allgemeinen Lösungensystems existiert, legen wir uns das 

 folgende Problem vor: 



^pSm!" CresucU wird die allgemeinste Form eines Systems von n simultanen 

 Differentialgleichungen 



^^^^ -d7==ni{^i--Xn, z) (^=l,2..«), 



