Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 793 



dem die Eigensclmft ziücommm soll, dass das allgemeine Lösungensysfem 

 Xj^. . Xn aus m allgemein gewählten particularen Lösungensystemen 



X, = x,<'\ ..Xn = a;„(*) (Jc=l,2..m), 

 die also Functionen von 8 sind, durch ein Formelsystem 

 (25) Xi = (pi{x^^^^ . . XrS'\ . . a;/™) . . Xn^"'\ «i • • a„) 



{i = l, 2..n) 



7mt n (notwendig wesentlichen) willJcürlichen Constanten darstellbar sei. iMuda- 

 Ein solches System heisst ein System mit Fundamentallösungen. losungou. 



Bei einem solchen System liefert die Auflösung der Gleichungen«««*™;;'« 



(25) nach a^. .an Gleichungen von der Form mit^Fim.ia- 



mental- 



(26) Jii^Oi'-^^ • • X,y\ ' • , ^1^'"^ • • ^'/'"^ ^1 • • ^«) == «<■ lOsuBgen, 



(i= 1, 2..W). 

 Daher können wir sagen: Sobald 



(27) 





irgend welche (w + 1) Lösungensysteme der Differentialgleichungen 

 (24) bilden, ist jede der Functionen J^..Jn, die hinsichtlich x^..Xn 

 von einander unabhängig sind, eine Constante. Dies drückt sich da- 

 durch aus, dass identisch 



^\aa:,(*) dz "' ^aa;„<*> dz J'^ dx, dz "*" '^ 8x^ dz 



(i= 1, 2..w) 



sein muss, sobald die Systeme (27) die Differentialgleichungen (24) 

 erfüllen. Also folgt, da die Gleichungen (24) gerade die hier auf- 

 tretenden Differentialquotienten nach z liefern, aber die Anfangswerte 

 der Systeme (27) durch keinerlei Relation verknüpft sind: 



Es müssen für nm -\- n Veränderliche (27) und die eine Ver- 

 änderliche 3 identisch die n Relationen bestehen: 



dJ. dJ 



(28)^ 



1 \ "'"i 



{i = l, 2..W), 



wie auch die wm-f w-f-1 Veränderlichen gewählt sein mögen. Dabei 

 bedeuten ??i'^) . . rjj''^ natürlich die Functionen rji - ■ Vn, nachdem in 



