794 Kapitel 24, § 4. 



ihnen die Veränderlichenreihe x, . . x^, durch a;,W . . ^„w ersetzt 

 worden ist. 



Es liegt nun nahe, das Symbol zu benutzen: 



^r^T^^™ ^^'''" ''^••^» ^""'^ x.^^K.xJJ') ersetzen, so sei es 

 mit ynf bezeichnet. Alsdann können wir die Bedingung (28) so 

 aussprechen: Es muss 



r(i) j;. + Y^^)j, + . . + r(-)j;. + rj;- = o 



(«=1, 2..W) 

 sein. Oder auch endlich: Die lineare partielle Differentialgleichung 



(29) uf ~ YWf + r(2)yr +.._!_ y(„Y + r/- = 



muss w von einander hinsichtlich x,,.Xr, unabhängige Lösungen J,..J^ 

 besitzen, die frei von z sind. 



Des Späteren wegen heben wir hervor: Wenn umgekehrt die 

 Gleichung (29) n solche Lösungen besitzt, so folgt rückwärts, dass, 

 sobald die »em + w Veränderlichen (27) irgend welche m+ 1 Lösungen- 

 systeme des Systems von Differentialgleichungen (24) darstellen, "für 

 sie J^. .Jn constant, d. h. unabhängig von z werden. 



Nun tritt z in der linearen partiellen Differentialgleichung (29) 

 gar nicht als Veränderliche, nach der differenziert wird, auf. Ferner 

 soll z nicht explicite in J, . . J„ vorkommen. Wenn wir also der Ver- 

 änderlichen z in (29) irgend einen constauten Wert beilegen, so muss 

 die hervorgehende Gleichung immer noch die n Lösungen J,..Jr, be- 

 sitzen. 



Indem wir z eine Reihe bestimmter Werte erteilen, können wir 

 mithin aus (29) eine Anzahl linearer partieller Differentialgleichungen 

 mit den nm -{- n unabhängigen Veränderlichen (27) ableiten, die 

 Jf.Jn als Lösungen besitzen müssen. Sicher können wir so nur 

 eine endliche Anzahl von einander unabhängiger Gleichungen erhalten. 

 Denn z. B. s von einander unabhängige besitzen höchstens, nämlich 

 wenn sie ein vollständiges System bilden, nm -\- n — s gemeinsame 

 von einander unabhängige Lösungen. Da aber deren n existieren, 

 so muss sein: 



nm -\- n — s'>n, 

 also: 



5^ nm. 



Nehmen wir an, dass wir durch Einsetzen bestimmter Werte von 

 z, etwa der Zahlen z^ . . z^, in (29) gerade s von einander unabhängige 



