Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 795 



Gleichungen erhalten, so ist also s höchstens gleich nm. Der Aus- 

 druck Yf sei, wenn darin z = Za gesetzt ist, mit F«/' bezeichnet. Wir 

 haben nun die s Gleichungen: 



(30) Uof= Ya^'^f + r.(2)/- H p Ya^'"V -\-Yaf=0 



(tf = l, 2..S), 



und die allgemeine Gleichung (29) mit beliebigem z muss eine Folge 

 von diesen sein. Zu beachten ist, dass die linke Seite von (30) von 

 z vollkommen frei ist. 



Die Functionen J^. .J„ sollen den Gleichungen (30) genügen. 

 Sie erfüllen daher auch die durch Klammeroperation aus ihnen 

 hervorgehenden: 



(31) (Uaür) = ((?, r = l, 2..S). 

 Da aber Y^*)/" nur Xi^'^K . x^S''^ enthält, so ist: 



(32) (UoUr) EEE (r.(^)r,(i)) + . • + (r.wr.C")) + (r„r.). 



Entweder sind nun die Gleichungen (31) von den Gleichungen (30) 

 abhängig oder nicht. Alle unabhängigen fügen wir zu (30) hinzu, 

 und bilden abermals durch die Klammeroperationen neue Gleichungen, 

 von denen wir die von den bisherigen unabhängigen zu (30) hinzu- 

 fügen u. s. w. Angenommen, wir kommen dazu, dass sich im ganzen 

 r von einander unabhängige Gleichungen ergeben, so ist r eine end- 

 liche Zahl, da r ^nm sein muss. Nach (32) ist jede dieser r Glei- 

 chungen — unter denen sich also auch die Gleichungen (30) selbst 

 befinden — von der Form: 



(33) VJ= X,(iy + . . + X/'")/- -\-XJ=0 



(A=l, 2..r). 



Sie bilden ein r-gliedriges vollständiges System, da die Klammer- 

 operation keine neuen Gleichungen liefert. Es ist also allgemein: 



oder: 



r 



1 



(X,(i)X/^)) + . . + (X.C'OX^c«)) + (X.X,) = 



oder einzeln; 



